第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定理及中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量

定义

设随机试验的样本空间为$S=\{e\}$。$X=X(e)$是定义在样本空间$S$上的实值单值函数。称$X=X(e)$为随机变量。它有以下特点：

• 它随试验结果的不同而产生不同的值，在试验之前只可能知道它的取值范围，不能预先肯定它取哪个值。
• 由于试验结果的出现有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。

<aside> 💡 例如：从某一学校随机选择一名学生，测量他的身高。我们把可能的身高看作随机变量，紧接着我们就能提出关于$X$的问题，比如：$P(X>1.7)=?$

</aside>

意义

将对事件及事件概率的研究扩大到对随机变量及其取值规律的研究。

分类

随机变量通常分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。

• 离散型随机变量：取值是有限或可列的无限多个。
• 连续型随机变量：全部都能取值，不仅无穷多，还不能一一列举，只能通过区间进行描述。

2.2 离散型随机变量及其分布律

定义

• 设$x_k(k=1,2,…)$是离散型随机变量X所取的一切可能值，称$P(X=x_k)=p_k,\quad k=1,2,…$为离散型随机变量X的概率分布或分布律。其中$p_k$满足：
  1. $p_k\ge0(k=1,2...)$;
  2. $\sum\limits_kp_k=1$。

表示方法

• 列表法

  $X$	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
  $P_k$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$

• 公式法

  $$ P\{X=k\}=\frac{C_2^kC^{3-k}_3}{C^3_5} $$