"We see that each surface is really a pairof surfaces, so that when they appear tomerge, there are really four surfaces.Continuing this process for anothercircuit, we see there are really eightsurfaces, etc, and we finally conclude thatthere is an infinite complex of surfaceseach extremely close to one or the otherof two merging surfaces". Lorenz 1963.
Der Lorenz-Attraktor oder das Lorenz-Modell beschreibt einen bestimmten Typ von Attraktor in einem dynamischen System. Dieses Modell wurde von dem Meteorologen und Mathematiker Edward N. Lorenz in den 1960er Jahren entwickelt, um das Verhalten von Atmosphärenströmungen zu untersuchen.
Der Lorenz-Attraktor entsteht aus einem Satz von drei gekoppelten nicht-linearen Differentialgleichungen, die Lorenz ursprünglich zur Modellierung der atmosphärischen Konvektion hergeleitet hat. Diese Gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von drei Variablen, die üblicherweise als x, y und z bezeichnet werden.
Das Lorenz-Modell lautet:
dx/dt = σ * (y - x) dy/dt = x * (ρ - z) - y dz/dt = x * y - β * z
Hierbei sind σ, ρ und β Konstanten, die die Charakteristika des Systems beeinflussen. Der Attraktor entsteht, wenn das System bestimmte Werte für diese Parameter annimmt.
Der Lorenz-Attraktor zeichnet sich durch seine charakteristische Schmetterlingsform aus, wenn er im dreidimensionalen Phasenraum visualisiert wird. Die Bewegung der Variablen (x, y, z) im Phasenraum ist chaotisch und nicht-periodisch. Das bedeutet, dass die Trajektorien des Systems in diesem Phasenraum in der Regel keine sich wiederholenden Muster aufweisen und sehr empfindlich auf Anfangsbedingungen reagieren. Dies wird oft als ein Beispiel für deterministisches Chaos angesehen.
Der Lorenz-Attraktor ist ein zentrales Beispiel für die Chaostheorie und hat dazu beigetragen, das Verständnis komplexer Systeme zu vertiefen. Er wird auch in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften untersucht und hat zahlreiche Anwendungen in der Modellierung von chaotischen Systemen und Mustern gefunden.