1. （15‘）已知G任意的n-d+1列的秩为k，证明极小距离大于d-1

2. （15‘）给一个5x5的非对称矩阵表示X和Y的联合分布，每行每列的和都是5，左乘一个$\frac{1}{25}$, 求 距离D=max{ H(X|Y), H(Y|X) }

3. （15’）链式法则：证明 $\sum_{i=1}^{n}I(X_{i+1}^{n};Y|Y)=\sum_{i=1}^{n}I(X;Y^{i-1}|X)$

• $X_{i+1}^n=\{X_{i+1},...,X_{n}\}$
• $Y^{i-1}=\{Y_1,Y_2,...,Y_{i-1}\}$
• 有些上下标忘了
• 题目给了Hint：把某一项展开，得到两个求和符合，交换两个求和符号，得到另一边
• 等号左边的 | 的左边有一个X的序列，| 的右边有一个Y的序列
• 等号右边的 | 的左边有一个Y的序列，| 的右边有一个X的序列

4. （20’）考W、T，n≤200, 给了 log p(0)、log p(1)、H

1. 求 T-W的pair （n, N(0)), $\epsilon = \eta = 0.1$, N(0)≤10
2. $\epsilon = 0.2$, T 包含 W，求 $\eta$ 的最小值

5. （15‘) 计数

1. 求 所有codes里H的个数，k 是 n 的 factor， n=12, q=5，所以k取1、2、3、4、6、12？
2. 求汉明码的个数，q=5, n<120, gcd(k,n)≠1
3. 求循环码的个数，n=6, GF(3), k=2, 写出 生成多项式和校验多项式，一共应该是3个

6. （20’）Decoding

1. 给出2行4列的G，求 H 和它的RRE，画出Tanner Graph
2. 写出coset leaders（4个） 并解码