가우스와 라플라스, 자존심 강한 두 천재들의 대결!

평균을 중심으로 종 모양의 분포를 하고 있는 정규분포, 세상에는 정규분포를 따르는 수치들이 많다는 이야기... 저번 주에 살펴보았죠? 오늘은 정규분포에 영향을 준 두 천재들을 이야기해보려고 합니다. 독일의 대수학자 가우스와 프랑스의 천재적인 수학자 라플라스가 오늘의 주인공입니다. 먼저 소개해드릴 첫번째 천재는 가우스입니다. 정규분포의 또 다른 이름인 가우시안 분포에서 그의 이름을 확인할 수 있을 정도로 정규분포에 큰 영향을 주었답니다.

얼굴 천재 가우스

학교 선생님이 이제 갓 10살이 된 학생들에게 1부터 100까지의 합을 구하라고 합니다. 문제를 낸지 얼마 되지 않아서 어느 한 친구가 손을 들고는 5050이라고 바로 정답을 말하죠. 선생님은 어떻게 풀었느냐고 물어보니 그 친구가 이야기합니다. "1 + 100는 101이고요, 2 + 99도 101이여요. 그렇게 50번을 반복하면되니까 5050이 바로 나옵니다" 이 이야기 다들 들어보셨죠? 5050을 말한 친구가 바로 가우스입니다. 우리가 중고등학교 시절에 배우는 등차수열의 개념을 10살에 스스로 깨우치고는 호다닥 풀어낸거죠.

그것뿐만이 아닙니다. 가우스 나이 19살, 그는 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 정17각형을 작도해냅니다. 밑의 이미지가 바로 그거죠. 수학의 역사에 있어서 가우스의 영향은 정말 어마어마해요. 연산의 구조를 연구하는 대수학, 정수의 성질을 연구하는 정수론뿐만 아니라 해석학, 기하학 등 여러 수학 분야에 걸쳐 그의 족적을 남겼죠. 거기에 물리학, 전자기학 심지어 천문학까지도 수학적 기여가 넘처납니다.

19살에 가우스는 정17각형을 작도해냈다.

통계학, 특히 정규분포에도 가우스의 천재적인 능력이 발휘되는데요. 가우스는 물리적 실험에서 발생하는 오차를 확률분포 그래프로 그려보면 그 곡선이 정규곡선과 같다는 걸 증명했어요. 좀 더 자세히 살펴보기 위해 꼭꼬의 키를 가지고 실험을 해보죠. 제 키를 재보니 158.8, 158.3, 160.1, 160.3, 158.0 이렇게 수치가 나왔다고 칩시다. 측정과정에서 오차가 있어서 그런지 다양한 수치가 나왔네요. 꼭꼬의 키를 측정한 값들이 정규분포를 따른다고 치면 실제 꼭꼬의 키(참값)는 저 수치들의 평균에 가까울 거예요. 정규분포는 종 모양이고 그 고점은 평균일테니까요.

가우스는 이런 생각을 합니다. 만약에 측정값들의 평균이 실제 참값과 맞다면 오차도 정규분포를 따를것이다는 거였죠. 그리곤 가우스는 오차(측정값과 참값과의 차이)에 대한 수학적 조건들을 제시했고 이 조건을 풀어 정규분포의 확률밀도함수를 구했어요. 그리곤 생각했죠 "아! 정규분포라는 녀석은 세상의 온갖 실험에서 나오는 측정값들을 설명할 수 있는 아주아주아주아주 중요한 분포구나!" 왜 세상을 지배하는 건 정규분포라고 하는지 알겠죠?

라플라스 "다음 주에 찾아오겠소"

또 다른 천재 라플라스는 이항분포를 정규분포로 근사한 공로가 있어요. 아주 나이스~하다는 의미의 근사가 아니라 어떤 것과 똑같지는 않지만 비슷한 것을 뜻하는 근사(近似)를 말해요. 근사값할 때 그 근사를 의미하죠. 라플라스의 업적을 이야기하기 위해선 이항분포가 무엇인지 살펴봐야하는데요. 그 설명까지 이번주에 다하면 너무 분량이 많아질 것 같아서요ㅜ 오늘은 여기까지 하겠습니다🤣 그럼 다음주까지 안뇽~!