집합 $F$가 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 혹은 복소수 전체의 집합 $\mathbb{C}$이고 모든 $i = 1, 2, ... , m$ 와 $j = 1, 2, ... , n$에 대하여 $a_{ij} \in F$ 일 때

$A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)$

을 $F$위의 $(m \times n)$ 행렬이라고 부른다.

그리고 앞 $(m \times n)$ 행렬 $A$를 간단히는

$A = (a_{ij}){m \times n} = (a{ij})$

로 표기하기로 한다.

이때 $a_{ij}$ 를 행렬 $A$의 $(i, j)$ 좌표(coordinate) 혹은 $(i, j)$ 성분(component)이라고 부르고

$A$의 $i$ 번째 행(가로줄, row)을 $[A]_{i}$

$A$의 $j$ 번째 열(세로 줄, column)은 $[A]^{j}$

로 표기한다.

물론 $(m \times n)$ 행렬 $A = (a_{ij})$ 와 $B = (b_{ij})$ 가 같다(즉, $A = B$)는 말은 모든 $i, j$ 에 대하여 $a_{ij} = b_{ij}$ 라는 뜻이다.

$F$위의 $(m \times n)$ 행렬 전체의 집합은 $\mathfrak{M}_{m, n}(F)$로 표기하기로 한다.

우리는 $(m \times n)$ 행렬 $A = (a_{ij})$와 $B = (b_{ij})$의 덧셈(addition)을

$A + B = (a_{ij} + b_{ij})$

로 정의한다 (즉, $A + B$의 $(i , j)$ 좌표가 $a_{ij} + b_{ij}$ 라는 뜻)

행렬 $A = (a_{ij})$ 와 scalar $c \in F$ 의 상수곱 (scalar multiplication)은

$c A = (ca_{ij})$

로 정의한다.

즉, 행렬의 덧셈과 상수곱은 자연스럽게 componentwise 정의 (성분별로 정의) 된다.

그러나 행렬의 곱셉(multiplication)은 지금은 그렇게 자연스러워 보이지 않는다. 행렬 $A = (a_{ij})$의 size가 $(m \times n)$ 이고 행렬 $B = (b_{jk})$의 size가 $(n \times r)$ 일 때, 우리는 $(m \times r)$ 행렬 $AB$를