Métodos numéricos para aproximações de integrais

Integração Numérica

Casos de uso:

• Quando a integral não tem função primitiva (integral não-elementar)
• Quando não conhecemos a função, apenas os pontos através de uma tabela

Os métodos são classificados em:

• Fórmulas de Newton-Côtes: utilizam pontos igualmente espaçados
• Fórmulas de Quadratura de Gauss: utilizam pontos igualmente espaçados, determinado por polinômios ortogonais

Forma de Newton-Gregory

Requer que os pontos sejam igualmente espaçados

Obtemos a integral através da integração de um polinômio interpolador dos pontos

Regra dos Trapézios

<aside> ⚠️ Note que a integral é definida e terá uma solução real

</aside>

Seja a integral $\int_a^bf(x)dx$, numericamente consideramos a tabela de pontos:

Com um passo $h$ constante ($h=x_k-x_{k-1}$), consideramos que $x_0=a$ e $x_k=b$, sendo $a$ e $b$ os limites de intergração da integral.

O método consiste em calcular a área dos trapézios resultantes entre $x_k$ e $x_{k-1}$ com altura $y_k$ e $y_{k+1}$

A área de trapézios é dada por:

$$ A=\frac{B+b}{2}h $$

Transportando para este caso:

$$ A_1=\frac{y_0+y_1}{2}h $$