Primitivação por substituição

Este é mais um método geral de primitivação, que deve ser usado quando não é possível primitivar pelos outros métodos.

Fórmula da primitivação por substituição - versão 1

Sejam $I,J\subset \R$ dois intervalos abertos e $\varphi:J\to I$ uma função bijetiva e diferenciável com derivada não nula em $J$. Seja, ainda, $f:I\to\R$ uma função em $I$. Então, se $(f\circ \varphi)\cdot \varphi'$ é uma função primitável em $J$, $f$ é primitável em $I$ e

$$ \def\P{\text P} \P(f)=\bigg[\P\bigg((f\circ\varphi)\cdot\varphi'\bigg)\bigg]\circ\varphi^{-1} $$

<aside> 👉 Esta notação fica mais fácil de compreender com os exemplos abaixo

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Fórmula da primitivação por substituição - versão 2

Sejam $I,J\subset \R$ dois intervalos abertos e $\varphi:J\to I$ uma função bijetiva e diferenciável. Seja, ainda, $f:I\to\R$ uma função primitável em $I$. Então, $(f\circ \varphi)\cdot \varphi'$ é uma função primitável em $J$ e

$$ \def\P{\text P} \P(f)=\bigg[\P\bigg((f\circ\varphi)\cdot\varphi'\bigg)\bigg]\circ\varphi^{-1} $$

<aside> 💡 Esta fórmula tem um resultado semelhante, mas com condições levemente diferentes (nomeadamente elimina a restrição de a derivada de $\varphi$ não se anular).

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Exemplo

Considera-se a primitiva:

$$ \def\P{\text P} \P\bigg(\frac 1{\sqrt x +1}\bigg) $$

Utiliza-se uma mudança de variável $x=\varphi(t)=t^2$, com $t>0$, para haver injetividade.

$$ \def\P{\text P} \P\bigg(\frac 1 {\sqrt{t^2}+1}\cdot (2t)\bigg)=\P\bigg(\frac{2t}{t+1}\bigg)\tag {1} $$

Pela divisão inteira:

$$ \def\P{\text P} \P\bigg(\frac{2t}{t+1}\bigg)=\P\bigg(2-\frac{2}{t+1}\bigg)=2t-2\log|t+1| $$

Como $t=\varphi^{-1}(x)=\sqrt x$:

$$ \def\P{\text P} \P\bigg(\frac 1 {\sqrt x + 1}\bigg)=2\sqrt x - 2\log(\sqrt x + 1)\tag 2 $$