<aside> 💡 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘, ‘길 찾기’ 코테에서는 최단 거리 출력을 요구하는 문제가 많이 출제됨!

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1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 여러 개의 노드가 있을 때 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

• 그리디 알고리즘에 해당 (매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하여 반복)
• 현재까지 알고 있던 최단 경로를 계속해서 갱신
• 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 최단거리 테이블(1차원 리스트)에 저장하며 리스트를 계속 갱신함
• 원리

  1. 출발 노드 설정

  2. 최단 거리 테이블 초기화

  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드 선택

  4. 비용 계산하여 최단 거리 테이블 갱신

     ⇒ 3,4를 반복

1) 간단한 다익스트라 알고리즘 : $O(N^2)$

• 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언
• 이후에 단계마다 **"방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택"**하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visted = [False] * (n + 1)

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visted[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

def dijkstra(strat):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visted[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visted[now] = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
      print("INFINITY")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(distance[i])

• 시간 복잡도 : $O(N^2)$

  • 총 O(v)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문

  ⇒ 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라며 위와 같은 식으로 풀이가 가능

  but, 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 불가능

2) 개선된 다익스트라 알고리즘 : $O(logN)$

• 간단한 다익스트라 알고리즘 매번 최단 거리 테이블을 모든 원소를 앞에서부터 하나씩 탐색해야 했음
• 더욱 빠르게 찾기 위해 힙 자료구조를 사용
  • 힙(Heap)
    • 힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조
    • 우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
• 시간 복잡도 : $O(logN)$
  • 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있음
  • "거리"가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성
  • 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
  q = []
  #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0

  while q: #이렇게 쓰는거 자체가 큐가 비어있지 않을때까지 반복을 돌게 해줌
    #가장 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
    dist, now = heapq.heappop(q)
    #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

#다익스트라 알고리즘
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  else:
    print(distance[i])