부분공간

• 대수학에서는 부분집합과 처음 주어진 집합이 대수적 구조가 서로 같은지의 여부가 주요 화제다. 이번 절에서는 벡터공간에서 부분집합의 대수적 구조를 살펴본다.
• 정의)
  • $F$-벡터공간 $V$의 부분집합 $W$를 생각하자. 이 부분집합 $W$가 $V$에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 $F$-벡터공간일 때, $V$의 부분공간(subspace)이라 한다.
• 모든 벡터공간 $V$에 대하여 $V$와 $V$은 부분공간이다.
  • 특히 $V$은 점공간인 부분공간(zero subspace)이라 한다.
  • 다행히 어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요는 없다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)이 성립하면 부분집합의 모든 벡터에 대해서도 당연히 성립하기 때문이다.
• 부분집합 $W$ 가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지 성질을 만족하는 것이다.
  1. 모든 $x, y \in W$에 대하여 $x + y \in W$이다. ($W$는 덧셈에 대하여 닫혀있다)
  2. 모든 $c \in F$와 모든 $x \in W$에 대하여 $cx \in W$이다. ($W$는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다)
  3. $W$는 영벡터를 포함한다.
  4. $W$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 $W$의 원소이다.
• 다음 정리에 따르면 $W$의 영벡터와 $V$의 영벡터는 반드시 같으며, 부분공간인지 확인할 때 성질 4는 굳이 확인할 필요가 없다.
• 정리 1.3)
  • 벡터공간 $V$와 부분집합 $W$를 생각하자. $W$가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때 연산은 $V$에서 정의된 것과 같다.
    1. $0 \in W$
    2. $\forall x, y \in W, x + y \in W$
    3. $\forall c \in F, \forall x \in W, cx \in W$
  • 증명)
    • $W$가 $V$의 부분공간이면 $W$는 $V$에서 정의된 합과 스칼라 곱을 그대로 물려받은 벡터공간이므로 두 조건 2, 3이 성립한다.
    • $W$의 영벡터를 $0'$이라 하면 $x \in W$에 대하여 $x + 0' = x$이다. 한편 $x \in V$이므로 $x + 0 = x$도 성립한다. 정리 1.1에 의해 $0' = 0$이다. 따라서 조건 1이 성립한다.
    • 역으로 세 조건 1, 2, 3이 성립한다고 가정하자. 직전의 논의에 따르면 ($V$의) 부분공간 $W$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 $W$의 원소임을 보이면 충분하다. 조건 3으로부터 $x \in W$이면 $(-1)x \in W$이고 정리 1.2에 의해 $-x = (-1)x$이다. 즉 $V$는 $V$의 부분공간이다.
• 정리 1.3을 이용하면 주어진 부분집합이 부분공간인지 쉽게 판별할 수 있다. 앞으로 주어진 집합이 부분공간임을 증명해야 할 때, 이 방법을 자주 사용할 것이다.
• $m \times n$ 행렬 $A$의 전치행렬(transpose matrix) $A^{t}$는 $A$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$ 행렬이다. 즉 $(A^{t}){ij} = A{ji}$이다.
• 전치행렬의 예는 다음과 같다.

$\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & -1 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)$

• 대칭행렬(symmetric matrix)는 $A^{t} = A$인 행렬이다. 위에 소개한 $2 \times 2$ 행렬은 대칭행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. $M_{n \times n}(F)$의 모든 대칭행렬을 원소로 하는 집합 $W$는 부분공간이다. 확인해 보자.
  1. 영행렬의 전치행렬은 영행렬이다. 즉 영행렬은 $W$의 원소이다.
  2. $A \in W, B \in W$이면 $A^{t} = A, B^{t} = B$이고 $(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t} = A + B$이다. 즉 $A + B \in W$이다.
  3. $A \in W$ 이면 $A^{t} = A$이고 임의의 스칼라 $a$에 대하여 $(aA)^{t} = aA^{t} = aA$이다. 즉 $aA \in W$이다.
• 예제 1)
  • 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $P_{n}(F)$을 $n$ 이하의 차수를 가진 다항식이라 하자. $P_{n}(F)$은 $P(F)$의 부분집합이다.
    • 영 다항식의 차수는 $-1$이므로 $P_{n}(F)$에 속한다.
    • 차수가 $n$ 이하인 두 다항식을 더하면 차수가 $n$ 이하 이다.
    • 차수가 $n$ 이하인 두 다항식에 스칼라 곱을 해도 차수는 바뀌지 않는다.
  • 따라서 $P_{n}(F)$은 $P(F)$의 부분공간이다.
• 예제 2)
  • 실수집합 $R$에서 $R$로 가는 모든 연속함수의 집합을 $C(R)$라 하자. 명백히 $C(R)$는 벡터공간 $\mathcal{F}(R, R)$의 부분집합이다. 이제 $C(R)$가 $\mathcal{F}(R, R)$의 부분공간임을 보이자.
    • $\mathcal{F}(R, R)$에 속한 영함수 $f(t) = 0$는 모든 실수 $t$에 대하여 함숫값이 $0$인 상수함수이다. 상수함수는 연속함수이므로 $f \in C(R)$이다.
    • 두 연속함수의 합은 연속함수이고, 연속함수의 스칼라곱도 연속함수이므로 $W$은 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있다.