https://youtu.be/zNslXtXPmso
- One-to-one mapping (단사함수)
- $x \neq y \Rightarrow T(x) \neq T(y)$
- Onto mapping (전사함수)
Thm 2.4 $T : V \to W$ linear
- $T$: one-to-one $\Leftrightarrow N(T) = \{ 0 \}$
- $T$가 단사함수면 널공간의 원소는 $0$벡터 뿐이다.
- 증명)
- $\Rightarrow$
- $x \in N(T)$
- $T(x) = 0 = T(0)$
- $T$는 단사함수이므로 $x = 0$
- $\therefore N(T) = \{0\}$
- $\Leftarrow$
- $T(x) = T(y)$
- $0 = T(x) - T(y) = T(x -y)$
- $N(T) = \{0\}$이므로 $x - y = 0$
- $\therefore x = y$
- $\therefore T$는 단사함수
Thm 2.5
- $dim(V) = dim(W) < \infty$ 일때
- (정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
- $T : V \to W$일 때 다음은 모두 동치이다.
- $T$ 는 전사 함수
- $T$ 는 단사 함수
- $rank(T) = dim(V)$
- 증명)
- $T$는 단사함수
- $\Leftrightarrow N(T) = \{0\}$
- $\Leftrightarrow nullity(T) = 0$
- $\Leftrightarrow rank(T) = dim(V)$
- $\Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)$
- $\Leftrightarrow R(T) = W$
(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)
- 증명)
- $S \subset V, S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$일 때 $T$ 가 선형이고 단사함수면 집합 $S$는 선형독립 $\Leftrightarrow T(S)$ 는 선형독립
- $\Rightarrow$
- $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0$ 라 하면
- $T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) = 0$