https://youtu.be/zNslXtXPmso

• One-to-one mapping (단사함수)
  • $x \neq y \Rightarrow T(x) \neq T(y)$
• Onto mapping (전사함수)
  • $T(V) = W$

Thm 2.4 $T : V \to W$ linear

• $T$: one-to-one $\Leftrightarrow N(T) = \{ 0 \}$
  • $T$가 단사함수면 널공간의 원소는 $0$벡터 뿐이다.
• 증명)
  • $\Rightarrow$
    • $x \in N(T)$
    • $T(x) = 0 = T(0)$
    • $T$는 단사함수이므로 $x = 0$
    • $\therefore N(T) = \{0\}$
  • $\Leftarrow$
    • $T(x) = T(y)$
    • $0 = T(x) - T(y) = T(x -y)$
    • $N(T) = \{0\}$이므로 $x - y = 0$
    • $\therefore x = y$
  • $\therefore T$는 단사함수

Thm 2.5

• $dim(V) = dim(W) < \infty$ 일때
  • (정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
• $T : V \to W$일 때 다음은 모두 동치이다.
  • $T$ 는 전사 함수
  • $T$ 는 단사 함수
  • $rank(T) = dim(V)$
• 증명)
  • $T$는 단사함수
  • $\Leftrightarrow N(T) = \{0\}$
  • $\Leftrightarrow nullity(T) = 0$
  • $\Leftrightarrow rank(T) = dim(V)$
  • $\Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)$
  • $\Leftrightarrow R(T) = W$

(예제 생략 - 교재 정리 내용과 동일)

• 증명)
  • $S \subset V, S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$일 때 $T$ 가 선형이고 단사함수면 집합 $S$는 선형독립 $\Leftrightarrow T(S)$ 는 선형독립
  • $\Rightarrow$
    • $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0$ 라 하면
    • $T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) = 0$