https://youtu.be/0PJ4NJ-PGP0

집합론의 역설

칸토어의 역설

칸토어의 정리

임의의 집합 $X$에 대하여 $\#X < \#P(X)$이다.

칸토어의 역설

모든 집합들의 집합을 $U$, 그 기수를 $\#U = \kappa$라 하자.

그러면 칸토어의 정리에 따라 $U$의 멱집합의 기수 $\#P(U)$는 $\#P(U) = 2^{\kappa} > \kappa = \#U$ 이지만, 이는 $\#U \geq \#P(U)$ 이어야 하는 가정에 모순이 된다.

러셀의 역설

모든 집합들의 집합을 $U$라 하자.

그러면 $S = \{ A \in U | A \notin A \}$는 하나의 집합이 된다. (여기서 S는 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합)

만약 $S \in S$라 하자. 그러면 $S$의 정의에 의해 $S \notin S$이다.

만약 $S \notin S$ 라고 하자. 그러면 $S$의 정의에 의해 $S \in S$이다.

따라서 $U$는 존재하지 않는다.

공리적 집합론

ZFC