https://youtu.be/YWF1dJEVvmU

연속사상

연속사상

Def 1. [실변수함수의 연속]

  1. 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 $x_{0} \in \mathbb{R}$에서 연속이다.
  2. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 연속함수다

Def 2. [연속사상]

  1. 사상 $f : X \to Y$가 $x_{0} \in X$에서 연속이다.
  2. $f : X \to Y$가 연속사상이다.

ex) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 위의 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \}$에 대하여, 사상 $f : X \to X$를 $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 3$이라 정의하면, $f$는 1과 3에서 연속이지만 2에서는 연속이 아니다. 즉, $f$는 연속사상이 아니다.

Thm 1. [연속사상의 또 다른 정의]

사상 $f : X \to Y$에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. $f$는 연속사상이다.
  2. $Y$의 임의의 열린집합 $V$의 역상 $f^{-1}(V)$가 $X$에서 열린집합이다.

Cor. [닫힌집합과 연속사상]

$f : X \to Y$는 연속사상이다. $\Leftrightarrow Y$의 임의의 닫힌집합 $C$의 역상 $f^{-1}(C)$가 $X$에서 닫힌 집합이다.