https://youtu.be/y9C9WDC_V-Q

자연수

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

  1. $1 \in \mathbb{N}$
  2. $n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}$
  3. $\forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'$
  4. $\forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m$
  5. $1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S$

'1'과 '그 다음 수'는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

$n' = n + 1$이라 정의할 때, 명제 $P(n)$에 대하여 두 조건

  1. $P(1)$이 참
  2. $P(n)$이 참 $P(n+1)$이 참

이 성립하면 $P(n)$은 모든 자연수 $n$에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

  1. 정렬성
  2. 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 위로 유계가 아니다.