https://youtu.be/jvgeEq7FbqA

위상공간

도입

• 위상수학의 본질은 연속에 대한 이해이며, 실수의 연속성으로부터 시작한다.
  • (연속의 핵심은 극한)

Def 1. [$\lim_{n \to \infty} x_{n} = L$]

$L \in \mathbb{R}$이라 할 때, $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, |x_{n} - L| < \epsilon$

이때 $|x_{n} - L| < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$

• $x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$은 $x_{n}$이 $L$ 의 근방에 포함된다는 의미

Def 2. [근방]

$N \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R}$ 이라 할 때,

$\exists(a, b) \subset N : L \in (a, b)$을 만족하면 $N$을 $L$의 근방이라 한다.

• 근방이란 $L$을 포함하는 열린구간을 의미. 심지어 $(-\infty, \infty)$도 정의상 근방이라고도 할 수 있다.
• 근방 정의의 핵심은 $L$로부터 얼마나 떨어져 있느냐가 아니라 연속성.

Thm 1. [근방(열린구간)의 성질]

1. $L \in \mathbb{R}$의 근방들의 유한교집합은 $L$의 근방이다.
   • 닫힌 구간인 경우에는 성립하지 않는다. 닫힌 구간들이 1개의 원소를 공유하는 경우 그 교집합은 1개의 원소가 되기 때문에 근방이 되지 않음.
2. $L \in \mathbb{R}$의 근방들의 무한합집합은 $L$의 근방이다.
   • 무한 교집합인 경우에는 성립하지 않는다. 교집합이 1개의 원소로 수렴하기 때문

Def 3. [열린집합]

열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 열린집합이라 한다.

Thm 2. [열린집합의 성질]

1. $\emptyset$은 열린집합이다.