https://youtu.be/euOckRpDB10

선형사상

선형사상

• 사상이란 대수구조를 다루는 함수.
  • 엄밀히 말하면 함수보다 더 포괄적인 개념이지만, 둘이 흡사하기 때문에 혼용해서 사용함.
• 선형사상이란 가산성(additivity)과 동차성(homogeneity)을 만족하는 사상

정의

$F$-벡터공간 $V, W$에 대하여 $V$의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상 $L : V \to W$

• $L(u+v) = L(u) + L(v) (u, v \in V)$
  • 가산성
• $L(kv) = kL(v) (k \in F, v \in V)$
  • 동차성
• $L$은 선형사상이기 때문에 사용하는 기호로, $L$이 붙어 있으면 선형 사상이라고 보면 된다.

관련 용어

$L : V \to W$가 선형사상일 때

• 핵 (kernel): $ker L = L^{-1}(\vec{0}) = \{ v \in V | L(v) = \vec{0} \}$
  • 일종의 공역 개념
• 상 (image): $im L = L(V) = \{ L(v) \in W | v \in V \}$
  • 일종의 치역 개념
• 자기사상: $V = W$인 $L$
• 단사사상: $L(u) = L(v) \Rightarrow u = v$인 $L$
• 전사사상: $L(V) = W$인 $L$
• 동형사상: 단사사상인 전사사상
• 자기동형사상: 자기사상인 동형사상