시스템 참여자로서 현재 시스템의 최고점과 최저점을 예측할 수 있을까? (global optimal 뿐만 아니라 local optimal이라도)

예컨대 주식 시장에서 현재 주식의 가격이 최고점인지 혹은 최저점인지 예측할 수 있을까?

모든 시스템에 대응 시킬 수는 없지만, 주식 시장도 꽤 여러 시스템에 대응할만한 조건을 갖고 있기 때문에, 주식 시장을 조건으로 최고점-최저점 예측이 가능한지를 생각해 보자.

가정

예측이 가능한지 생각해 보기 앞서 논리 전개에 필요한 몇 가지 가정이 필요하다.

주식에서의 가격이란 실제 거래가 이루어지는 가격을 의미한다.
- A가 100만원에 주식을 팔겠다고 하더라도 아무도 그 가격에 매수를 해주지 않으면 가격은 성립하지 않는다. 역으로 A가 어떤 주식을 50만원에 사겠다고 하더라도 아무도 그 가격에 매도를 해주지 않으면 가격은 성립하지 않는다.
주식 시장에는 거래 상대자 뿐만 아니라 거래 경쟁자 또한 존재한다.
- 거래 상대자란 내가 시장에 주식을 팔 때 주식을 사는 사람, 혹은 내가 주식을 살 때 나한테 주식을 파는 사람을 의미한다.
- 거래 경쟁자란 내가 시장에 주식을 살 때 같은 주식을 사려는 사람, 혹은 내가 주식을 팔려고 할 때 같은 주식을 팔려는 사람을 의미한다.

일반적으로 무엇이 증명 가능한지를 따지기는 어렵고, 대신 반증하기는 쉽기 때문에, 거래 가격의 최고점과 최저점을 예측 가능한 마법같은 가격 계산 함수 f가 있다고 가정하고 이것이 논리적으로 불가능하다는 식으로 증명을 전개하자.

상황 1

거래 가격의 계산 함수가 시장에 단 1개 존재해서 가격의 최고점과 최저점을 예측해 준다고 하자. 내가 주식을 팔려고 할 때 계산된 최고점에서 팔고, 주식을 사려고 할 때 계산된 최저점에서 사면 매우 훌륭할 것이다.

문제는 이 경우 해당 최고점과 최저점을 나만 알고 있지 않다는 것이다. 거래 상대자도 그 시점을 알고 있기 때문에, 어느 누구도 최고점과 최저점에서 거래를 하려 하지 않을 것이다.

어떤 바보가 이 가격이 최고점이라는 걸 아는데 매수를 해줄 것이며, 이 가격이 최저점이라는 걸 아는데 매도를 해줄 것인가. 결국 최고점-최저점 가격은 형성되지 못하며 계산 가능 함수의 결과는 틀렸다는 것이 된다.

거래 가격의 계산 함수가 시장에 2개 이상 존재하는 경우 다시 2가지 경우가 있을 수 있다.

이 경우는 상황 1과 동일하다. 어떤 알고리즘이었든 결과가 같다면 모두가 그 가격이 최고점-최저점 임을 알게 되고, 그 시점에서는 어떠한 거래도 일어날 수 없다. 결국 모든 예측 함수가 틀렸다는 것이 된다.