수식 (참고1)

위 수식은 NeRF 기반의 부피 렌더링(from2) 의 핵심이 되는 수식이다. 이것을 나의 말로 풀어 상술하면 다음과 같다. 어떤 점의 density ${\sigma}_t$ 가 높다는 것은 그 점을 더욱 많이 $\mathrm{C(r)}$ 에 반영시키도록 가중치를 준다는 것이다. 그와 동시에, 해당 점 $t$ 의 높은 밀도값은 그 다음 점 $t+1$ 이 $e^{-x}$ 에서 더 높은 $x$ 를 가지도록 한다는 것이다. $e^{-x}$ 는 감소함수이기 때문에, density 가 높은 점 뒤의 점들은 더욱더 $\mathrm{C(r)}$ 에 반영되기가 어려운 값이 됨을 의미한다. Ray 위의 점 $\mathrm{r}(t)$ 에서 밀도가 증가하면 $\mathrm{r}(t+1), \mathrm{r}(t+2), ...$ 의 영향력은 약해지게 된다.

나는 이를 정말 복잡하게 이해했지만, 논문에서는 이러한 특징을 멋지게 추상화하여(from1), ‘누적된 투과도’ 라고 표현해 생각을 단순화한다. 즉, ray 가 구간을 이동하면서 다른 어떠한 점도 마주치지 않았을 확률값인 $T(t)$ 는, 점 $\mathrm{r}(t-1)$ 까지 얼마나 투명했는가 (accumulated transmittance) 를 나타내는 값이라는 것이다(참고2).

from

1. 9_3. title: 추상화, 구체화를 하는 이유는 빠른 내용 전달이다. 추상적인 생각을 그 자체로 받아들이면 안되는 이유는 구체화(해석)의 자유성 때문이다.
2. ‣

참고

1. 5p, Volume Rendering with Radiance Fields, The expected color C(r) of camera ray r(t) = o + td with near and far bounds tn and tf is
2. 6p, The function T(t) denotes the accumulated transmittance along the ray from tn to t, i.e., the probability that the ray travels from tn to t without hitting any other particle.