1. 虚拟价值的基本定义

虚拟价值是机制设计中用来衡量一个特定类型的代理人所带来的边际收入或边际社会价值的概念，这个价值是调整过信息租金影响之后的。

在一个典型的单一代理人模型中：

• 代理人的成本类型 θ 来自一个分布，累积分布函数为 F(θ)，概率密度函数为 f(θ)。
• 他的虚拟价值 γ(θ) 定义为：γ(θ) = θ + F(θ)/f(θ)

直观理解：

• θ：是代理人的真实边际成本。
• F(θ)/f(θ)：是信息租金调整项。它反映了因为委托人不知道 θ，为了激励代理人说真话，必须支付给比 θ 更有效率的类型（即成本低于 θ 的类型）的额外租金。这个项总是非负的。

重要性：

在最优机制中，委托人的问题可以转化为仿佛在与一个其成本等于虚拟价值 γ(θ) 的代理人打交道，而不是其真实成本 θ。

2. 虚拟价值在这篇合谋文献中的隐性角色

让我们回头看文中无合谋情况下的最优产量公式（命题1）：

• 对于两个代理都是高成本的情况：S'(q) = 2θ
• 对于一个高成本一个低成本的情况：S'(q̂) = θ + θ + [ν/(1-ν)]Δ
• 对于两个代理都是低成本的情况：S'(q) = 2θ + 2[ν/(1-ν)]Δ

请看最后两项。它们都包含了额外的项 [ν/(1-ν)]Δ。

现在，我们来做一下转换。在二元类型模型 θ ∈ {θ, θ} 中：

• 对于低成本类型 θ：F(θ) = ν，f(θ) = 1（因为在离散模型中，概率质量集中在两点）。所以，其虚拟价值为：γ(θ) = θ + F(θ)/f(θ) = θ + ν/1 = θ + ν(注意：这里应为 γ(θ) = θ + (F(θ)/f(θ))，但在离散点需用概率差，结果为 θ + (ν/(1-ν))Δ，详见下方说明)

在离散模型中，更精确的推导是，为了让高成本类型 θ 不说谎，其租金必须为零，而低成本类型 θ 的信息租金是 Δq(θ)。委托人的期望支付包含了这个租金。在优化问题时，对高成本类型的产出 q 求导，一阶条件中会出现 θ + (ν/(1-ν))Δ 项。这正好就是高成本类型的虚拟价值。