https://viterbi-web.usc.edu/~jbarbic/cs520-s25/assign3/

Skeleton and Joint Hierarchy

• Skeleton 是由多个关节（joint）组成的层级结构。
• 每个 joint（除了 root）都有一个父 joint。
• 为了实现 skinning，每个 joint 需要一个 刚体变换（Rigid Transform）。

刚体变换 Rigid Transform

一个刚体变换只包含 旋转 和 平移，不会改变物体的形状或相对结构。

在 3D 中，刚体变换可以使用一个 4×4 的变换矩阵表示为：

$$

T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}

$$

• R 是一个 3×3 的旋转矩阵（保持长度与角度）
• t 是一个 3×1 的平移向量
• 使用这种形式是为了与齐次坐标相乘方便

Linear Blend Skinning (LBS)

设一个 mesh 顶点 $i$ 在 rest pose（未变形姿态）下的齐次坐标为 $\bar{\mathbf{p}}_i$，

它的最终变形后位置 $\mathbf{p}_i$ 由下式给出：

$$ \mathbf{p}i = \sum{j} w_j \cdot M_j^s \cdot \bar{\mathbf{p}}_i $$

• $j$：所有影响该顶点的 joint
• $w_j$：joint j 对该顶点的 skinning 权重