I giochi supermodulari sono una classe di giochi caratterizzati da complementarità strategiche, dove le scelte di un giocatore incentivano gli altri a scegliere strategie simili o più “alte”. Questi giochi si basano su una struttura matematica chiamata reticolo e producono risultati robusti sull’esistenza e la stabilità degli equilibri.
L’idea centrale è che l’incentivo di un giocatore a scegliere una strategia più “alta” (es. investire di più, produrre di più) aumenta quando gli altri giocatori fanno lo stesso.
Formalmente, la funzione di payoff $u_i(s_i, s_{-i})$ di un giocatore $i$, dove s_i è la sua strategia e $s_{-i}$ sono le strategie degli altri, ha differenze crescenti.
Per $s_i{\prime} > s_i$ (strategia più alta di i) e $s_{-i}{\prime} > s_{-i}$ (strategie degli altri più alte, cioè $s_j{\prime}$ $s_j' \geq s_j \text{ per ogni } j \neq i, \text{ con almeno un } k \neq i \text{ tale che } s_k' > s_k$
$u_i(s_i{\prime}, s_{-i}{\prime}) - u_i(s_i, s_{-i}{\prime}) \geq u_i(s_i{\prime}, s_{-i}) - u_i(s_i, s_{-i})$
Intuizione: Il guadagno netto di passare da una strategia bassa s_i a una più alta s_i{\prime} è maggiore (o almeno non minore) quando gli altri giocano strategie più alte s_{-i}{\prime}.
In parole semplici: “Se tu investi di più, anch’io sono incentivato a investire di più”.
Esempio: In un mercato, se un’azienda aumenta la qualità del suo prodotto, un concorrente è spinto a fare lo stesso per non perdere clienti.
A causa delle differenze crescenti, la risposta ottima (best response) di un giocatore, definita come:
$BR_i(s_{-i}) = \arg\max_{s_i} u_i(s_i, s_{-i})$,
è non decrescente rispetto alle strategie degli altri $s_{-i}$. Questo significa che se gli altri aumentano le loro strategie, il giocatore non sceglierà mai una strategia più bassa.
Esempio: Se un’azienda rivale aumenta la pubblicità, la tua risposta ottimale potrebbe essere mantenere o aumentare il tuo budget pubblicitario, non ridurlo.
L’esistenza di almeno un Equilibrio di Nash (NE) in strategie pure è garantita grazie al Teorema del Punto Fisso di Tarski.
Concetto: Gli spazi delle strategie devono formare un reticolo completo (es. intervalli chiusi in $\mathbb{R}^n$, come [0, 100], o insiemi finiti con un ordine, come {Basso, Medio, Alto}). La monotonicità delle risposte ottime assicura che esista almeno un punto fisso, cioè un profilo di strategie $s^* = (s_1^, \dots, s_n^,)$ tale che $s_i^* = BR_i(s_{-i}^*)$ per ogni giocatore i.
Perché è importante?: In molti giochi, gli equilibri in strategie pure non sono garantiti (es. giochi con strategie continue senza concavità). La struttura supermodulare risolve questo problema.