La Teoria dei Giochi è la disciplina matematica che studia le interazioni strategiche tra decisori razionali. Quando l'esito delle nostre scelte dipende non solo da ciò che facciamo noi, ma anche da ciò che fanno gli altri, entriamo nel dominio affascinante e complesso della teoria dei giochi.

Questo corso ti fornirà un toolkit analitico per modellare, comprendere e prevedere il comportamento in una vasta gamma di situazioni: dalle decisioni economiche alle negoziazioni politiche, dalle dinamiche evolutive in biologia fino alle interazioni negli algoritmi e nell'intelligenza artificiale. È un linguaggio rigoroso per pensare alla strategia, alla razionalità e alle conseguenze delle decisioni interdipendenti.

Il nostro viaggio si articolerà in tre parti:

1. Parte 1: Le Fondamenta. Inizieremo con le basi dei giochi statici, dove le decisioni sono simultanee. Introdurremo il concetto cruciale di Equilibrio di Nash e esploreremo come la razionalità individuale e le credenze condivise (o meno) portino a previsioni sul comportamento, estendendo l'analisi a contesti di informazione incompleta con l'Equilibrio Bayesiano di Nash. Vedremo subito i forti legami con l'ottimizzazione e la probabilità.
2. Parte 2: Dinamica e Informazione. Introdurremo la dimensione temporale e la complessità dell'informazione che si svela (o viene nascosta) nel tempo. Analizzeremo i giochi ripetuti, dove la possibilità di punizioni future può sostenere la cooperazione. Esploreremo i giochi di segnalazione, dove le azioni comunicano informazione privata, e i meccanismi di formazione della reputazione in interazioni durature.
3. Parte 3: Strutture Avanzate e Cooperazione. Ci addentreremo in classi di giochi con strutture matematiche particolari (giochi supermodulari con complementarità strategiche, giochi globali per il coordinamento sotto incertezza) che permettono analisi più approfondite. Infine, cambieremo prospettiva introducendo la teoria dei giochi cooperativi, focalizzandoci sulla formazione di coalizioni e sulla divisione "equa" del valore creato (Core, Valore di Shapley), scoprendo sorprendenti connessioni con metodi moderni di Explainable AI come SHAP.

Lungo tutto il percorso, intrecceremo il rigore formale (definizioni precise, logica matematica) con l'intuizione strategica e le applicazioni pratiche. Vedrai come concetti di probabilità, inferenza bayesiana, ottimizzazione e logica epistemica siano centrali per comprendere a fondo le dinamiche strategiche.

Questo corso è pensato per offrirti una solida comprensione dei principi e degli strumenti della Teoria dei Giochi, preparandoti ad applicarli criticamente nei tuoi studi e nelle tue future analisi. Iniziamo!

Parte 1

Un gioco statico (o simultaneo) è un modello di interazione strategica in cui:

1. I giocatori scelgono le loro azioni simultaneamente o, più in generale, senza conoscere le scelte effettuate dagli altri giocatori al momento della propria decisione.
2. Viene tipicamente rappresentato in forma normale (o strategica), spesso tramite una matrice dei payoff per giochi a due giocatori.

1. Formalizzazione: Gioco in Forma Normale

Un gioco statico (consideriamo N=2 giocatori per semplicità) è formalmente definito da:

• Insieme dei Giocatori: $N={[1,2]}$.
• Insiemi di Strategie (Pure): Per ogni giocatore $i∈N$, un insieme finito $S_i$ di azioni (o strategie pure) disponibili. Lo spazio dei profili di strategie pure è $S=S_1×S_2$.
• Funzioni di Payoff: Per ogni giocatore i∈N, una funzione $u_i:S→R$ che assegna un'utilità (payoff) $u_i(s_1,s_2)$ al giocatore i per ogni possibile combinazione di strategie (s1,s2)∈S.