p개의 확률변수 $X_1,...,X_p$에 대해
$$ X=(X_1,...,X_p)^T=\begin{bmatrix}X_1\\.\\.\\.\\X_p\end{bmatrix} $$
위의 X를 다변량 확률변수라고 합니다.
$\mu_i=E(X_i),\ \ \sigma^2=Var(X_i),\ \ \sigma_{i,j}=Cov(X_i,X_j)\ \ (\sigma_{ii}=\sigma_i^2,\ \sigma_{ij}=\sigma_{ji})$
X의 평균 벡터
$$ \mu=(\mu_1,...,\mu_p)^T=\begin{bmatrix}\mu_1\\.\\.\\.\\\mu_p\end{bmatrix} $$
X의 공분산 행렬
$$ \Sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{11}\ . \ .\ .\ \sigma_{1p}\\.\\.\\.\\\sigma_{p1}\ .\ .\ .\ \sigma_{pp}\end{bmatrix}=[Cov(X_i,X_j)] $$
[$W_{ij}$]가 확률변수의 행렬(kXk)일 때
$$ E([W_{ij}])=[E(W_{ij})]\\E(\begin{bmatrix}W_{11}\ . \ .\ .\ W_{1k}\\.\\.\\.\\ W_{k1}\ .\ .\ .\ W_{kk}\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}E(W_{11})\ . \ .\ .\ E(W_{1k})\\.\\.\\.\\ E(W_{k1})\ .\ .\ .\ E(W_{kk})\end{bmatrix} $$
$V=[V_{ij}]$, $W=[W_{ij}]$가 확률변수의 행렬 C,D가 kXk 상수행렬일 때,
E(CW) = CE(W), E(WD) = E(W)D
E(V+W) = E(V) + E(W)
$X=(X_1,...,X_p)^T$의 평균 $\mu=(\mu_1,...,\mu_p)^T$에 대해
$(X-\mu)(X-\mu)^T=[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)]$ 이므로