Per approssimare gli zeri di una funzione $f(x)$ si sfrutta il teorema di esistenza degli zeri, il quale garantisce l’esistenza di almeno uno zero all’interno di un’intervallo $[a,b]$.
Data una funzione $f:[a,b] \rightarrow \R$, se è inclusa nell’intervallo e ha segno discorde agli estremi
$$ \begin{cases}f \in C^{0}([a,b]) \\ f(a)f(b)<0\end{cases} \ \ \ \ \implies \ \ \exist \ \xi \in (a,b) \ \ | \ \ f(\xi)=0 $$
Attraverso delle tecniche iterative a partire da un $x_0$ iniziale, si genera una successione la quale sotto certe ipotesi, converge a uno degli zero della funzione.
$$ \lim_{k \rightarrow \infty}{x_k}=\xi, \ \ \ \ \ \ f(\xi)=0 $$
Attraverso il teorema degli zeri, si determina l’intervallo per i metodi numerici.
Date le ipotesi imposte dal TH ZERI: $f \\in C^{0}([a,b])$ e $f(a)f(b)<0$ segue che:
$$ \exist \ \xi \in [a,b] \ \ | \ \ f(\xi)=0 $$
il metodo genera delle sequenze di approssimazioni $\{a_k\} \ \{b_k\} \ \{c_k\}$ convergenti a $\xi$
$$ \lim_{k \rightarrow \infty}{a_k}=\lim_{k \rightarrow \infty}{b_k}=\lim_{k \rightarrow \infty}{c_k}=\xi \in [a,b] $$
Teorema 10.1.1 su metodo di bisezione (solo enunciato)
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Per la continuità di $f(x)$ ⇒ si ha che ad ogni cambio di segno corrisponde uno zero.
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Metodo:
Data una funzione continua, $(a<b)$ e con $f(a)f(b)<0$, fin quando l’iterazione non si arresta: