对于可镇定的线性系统：
$$ \dot{x}=A x+B u, \quad u=-k x $$
写成闭环形式，也就是
$$ \dot{x}=A_{c l} x $$
我们的做法是通过选择反馈增益k来改变闭环矩阵$A_{c l}$的特征值，从而控制系统的表现。
那么，什么样的反馈增益k才是最好的呢？
在优化理论中，引入cost function的概念，来帮助选择反馈增益k。
找到一个k，使得在满足镇定系统的同时，最小化cost function。
$$ \min J=\int_{0}^{\infty}\left[x^{T} Q x+u^{T} R u\right] d t $$
这里，矩阵Q和R都是对角正定矩阵，他们的每一个对角元素的值都代表着对每一个对应的状态$x_{i} \neq 0$和输入$u_{i} \neq 0$的惩罚。
第一次选择Q=[100 0; 0 1]; R=.01，在MATLAB中用
k=lqr(A,B,Q,R)
命令得到该cost function下的最有反馈增益k。其内部主要是通过求解Riccati方程得到k。
LQR的思路：