In MMGD, a numerical orbit is translated step by step into a geometric construction.

At each step, a local numerical axis is constructed at the currently referenced vertex. The digits appearing in the product are positioned on this axis, and the point corresponding to the observed digit is used to continue the curve.

The resulting drawing is not merely a global plot of a completed orbit. Each local interaction is translated into a spatial construction, and the accumulation of these ordered constructions forms the geometric realization of the orbit.

The geometry is fully determined by the numerical step data and can therefore be reconstructed after the numerical process has been completed. At the same time, the drawing records the orbit through a local and sequential procedure rather than representing only its coarse periodic structure.

The entire construction can be reproduced manually by arranging the reference digits on a regular polygon, performing the numerical updates, constructing local number lines, and connecting the resulting points with curves.

Current research asks what information this geometric realization retains that coarse dynamical invariants, such as the cycle spectrum, do not distinguish.

日本語

MMGDでは、数値軌道の各ステップが逐次的な幾何構成へ変換される。

各ステップでは、現在参照している頂点に局所数直線を構成する。積に現れる数字をその数直線上に配置し、観測された数字に対応する点を用いて曲線を接続する。

この描画は、完了した軌道全体を単に図示するものではない。各ステップの局所的な相互作用を空間的な構成へ変換し、それらを順序に沿って蓄積することで、軌道の幾何実現が形成される。

幾何は数値的なステップデータによって完全に決定されるため、数値過程の完了後に再構成することもできる。一方で、描画は軌道を粗い周期構造としてのみ表すのではなく、局所的かつ逐次的な手続きとして記録する。

この構成は、参照数字を正多角形上に配置し、数値更新、局所数直線の構成、得られた点の曲線による接続を繰り返すことで、手作業でも再現できる。

現在は、周期スペクトルのような粗い力学的不変量では区別できないどのような情報を、この幾何実現が保持しているのかを調べている。