Navier-Stokes 方程（Navier-Stokes Equations）

定义

Navier-Stokes 方程是描述连续流体运动行为的基本方程，本质上是牛顿第二定律（F = ma）在流体中的扩展形式。

该方程用于计算流体的速度随时间的变化，是所有物理基础流体模拟（如空气、水、烟雾）的理论核心。

方程形式

物质导数形式（Material Derivative Form）：

$$ \frac{D\vec{u}}{Dt} = \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \vec{f} $$

• $\vec{u}$：速度矢量场
• $\frac{D}{Dt}$：物质导数，表示跟随流体运动的变化率
• $\rho$：流体密度
• $\boldsymbol{\sigma}$：应力张量（包含压力与粘性）
• $\vec{f}$：体积力（如重力）

展开形式（Expanded Eulerian Form）：

$$ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = -(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{u} + \vec{f} $$

• $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}$：局部速度变化率
• $-(\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}$：对流项（Advection）
• $-\frac{1}{\rho} \nabla p$：压力梯度项（Pressure）