<aside> ✔️ 간단 요약
$A v=\lambda v$
</aside>
일부 정방 행렬의 경우 특수한 조건을 만족하는 경우가 있다.
$p \times p$ 정방 행렬 $A$에 대해
$$ ⁍ $$
를 만족하는 경우
위 수식은 벡터 $v$를 행렬 $A$로 선형 변환 시킬 때 방향은 변하지 않고 벡터의 크기만 $\lambda$만큼 변한다는 의미가 된다. ($\lambda$의 부호를 고려하지 않는 경우)
위 식을 정리했을 때
$$ A v=\lambda v \\\Leftrightarrow A v-\lambda v=0 \\\Leftrightarrow(A-\lambda I) v=0 $$
에서 만약 $A-\lambda E$의 역행렬이 존재한다면 $v = 0$일 때만 식이 성립하게 된다.
따라서, $\det (A-\lambda E) = 0$일 때만 고유 벡터가 존재한다.
앞에서 설명한 것처럼, 고유 벡터는 선형 변환을 수행했을 때 방향이 변하지 않는다는 의미를 가지기 때문에, 고유 벡터의 크기는 중요하지 않다.
따라서 일반적으로 고유 벡터의 크기를 1로 정규화한 단위 벡터를 사용한다.
$A v=\lambda v$에서 상수 $\lambda$를 대각 원소로 갖는 대각 행렬을 $\Lambda$라 할 때, 다음이 성립한다.
$$ \begin{gathered}A S=S \Lambda \\A=S \Lambda S^{-1}\end{gathered} $$