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질문 1) 왜 행렬의 Determinant가 0일 경우 dof가 한개 줄어드는가?(민우)
행렬의 dof(벡터는 $n \times 1$행렬로 볼 수 있음)는 행렬 요소가 자유롭게 변형 될 수 있는 개수를 나타낸다.
답변) 행렬 $\text A \in {\rm I\!R}^{n\times n}$
Projective space에서 Scale이 무시되므로, $2A = A$로 볼 수 있고, 제일 마지막 요소 $a_{nn}$이 변하지 않는 것으로 간주 되어 dof는 $n^2-1$로 간주 된다. 여기서 $det(A)=0$라고 했을 때 또 이때 determinant는 다시 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \text {det}(\text A)=f(a_{11}, a_{12}, ... ,a_{nn})=0\\ a_{11} = g(a_{12}, \ ..., \ a_{nn}) $$
즉 어떠한 행렬의 요소도 다른 행렬의 요소로 표현 되어 종속적인 관계가 되기 때문에 dof가 한개 더 줄어들게 된다. $det(A)=k$인 경우에는 행렬의 다른 요소 이외에도 $k$가 변할 수 있으므로 종속적이지 않게 된다.(민우)