Tipos de variables aleatorias:

  1. $N(a,b)$: “Cantidad de eventos que arriban en el intervalo [a,b]”.

$N(a,b) \sim Poi(\lambda(b-a))$

  1. $T_i$: “Tiempo entre el arribo del evento i y el evento i-1”.

$T_i \sim E(\lambda)$

  1. $G_k$: “Tiempo hasta el k-ésimo evento”.

$G\sim\Gamma(k,\lambda)$

Proceso de Poisson I

Definición: Un proceso puntual aleatorio es un conjunto enumerable de putos aleatorios ubicados sobre la recta real. En la mayoría de las aplicaciones un punto de un proceso puntual es el instante en que ocurre algún evento, motivo por el cual los puntos también se llaman eventos o arribos.

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Ejemplo de experimento: Autos llegando a un peaje en el tiempo. La recta real mide el tiempo y los eventos serían la llegada de los autos al peaje. Eventos puntuales (aleatorios) sobre una recta.

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Llamemos $N(t)$ al numero de eventos durante un intervalo especifico $[0,t]$.

Propiedades

  1. El numero de eventos durante intervalos de tiempo no superpuestos son variables aleatorias independientes.

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  2. La probabilidad de cada evento en particular es la misma para todos los intervalos de longitud $t$, independientemente de la ubicación de cada intervalo y de la historia pasada del sistema.

Si consideramos $N_1$ y $N_2$, tal que la longitud de su intervalo es la misma, entonces tienen la misma distribución de probabilidad.

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  1. La probabilidad de obtener 2 o más eventos en un intervalo lo suficientemente pequeño es despreciable.