Función de variable aleatoria (cambio de variable)

Sea $X$ una VA, sea $Y=g(X)$ una función de la variable $X$, buscamos encontrar la distribución de la variable Y.

Método de eventos equivalentes

$$

F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y) $$

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Si $X$ es discreta, entonces $G = h(X)$ será discreta

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En general, para variables discretas conviene siempre empezar por una tabla de valores

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¿Qué aprendimos acerca de encontrar la distribución de una VAD?:

  1. Defino la VA
  2. Defino el recorrido de la VA
  3. Encontramos la probabilidad para cada punto en el recorrido </aside>

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Resolución de problemas:

  1. Definimos variables aleatorias T (conocida) y W.
  2. Encontramos la relación entre T y W.
  3. Graficamos la relación entre las variables solo para los $t \in Sop(T)$.
  4. Sacar conclusiones: Por ejemplo, podríamos encontrar que w(t) tiene forma de escalera y observamos que este tipo de transformación pasa de un VAC a una VAD porque tomamos intervalos de la continua y todos esos valores se asignan a un valor puntual de la otra variable.

Si tenemos un grafico de tipo “escalera” va a ocurrir que si tengo una VAC la vamos a transformar en una VAD y esto se va a ver siempre que grafiquemos.

¿Qué quiere decir que tenemos un grafico de tipo “escalera”?. Quiere decir que para casi todos los valores $t \in Sop(T)$ la derivada es cero.

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Método grafico

  1. Grafico la relación entre variables de $y \ vs \ x$. Gráfico solo para los $x \in Sop(X)$.
  2. Grafico de $f_X(x)$.
  3. Estudio para cada $y$ cuáles son los valores de $x$ que cumplen con $Y \leq y$. Estos serán los eventos equivalentes.