Questão 1:

Se $\sum{a_n}$ é convergente e $a_n≥0$ para todo $n∈ℕ$, então a série $\sum{a_nx^n}$ é absolutamente convergente para todo $x∈[-1,1]$ e $\sum{a_n(nx)}$, $\sum{a_ncos(nx)}$ são absolutamente convergentes para todo $x∈ℝ$.

Solução:

Como $\sum{a_n}$ converge e $a_n≥0$, pelo teste da comparação temos:

1. Para $|x|≤1,|a_nx^n|≤a_n$, e como $\sum{a_n}$ converge, segue que $\sum{a_nx^n}$ é absolutamente convergente.
2. Para $\sum{a_nsen(nx)}$, vale $|a_n(nx)|≤a_n$. Como $\sum{a_n}$ converge, conclui-se que $\sum{a_n(nx)}$ é absolutamente convergente.
3. Analogamente, $|a_ncos(nx)|≤a_n$ garante a convergência absoluda de $\sum{a_ncos(nx)}$.

Questão 2:

A série

$$ 1-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}+... $$

tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto, é divergente. Por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz?

Solução:

O Teorema de Leibniz garante convergência apenas quando a sequência dos termos positivos (em módulo) é decrescente e tende a zero. No caso da série dada, o termo geral

é $\frac{2}{n}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n}$ nos agrupamentos, e essa estrutura não define uma sequência monótona decrescente em módulo. Assim, a hipótese fundamental do Teorema de Leibniz falha. Logo, não há contradição.

Questão 3:

Dê exemplos de uma série convergente $\sum{a_n}$ e de uma sequência limitada $(x_n)$ tais que $\sum{a_nx_n}$ seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada: (a) $(x_n)$ é convergente; (b) $\sum{a_n}$ é absolutamente convergente.

Solução:

Um exemplo é $\sum{a_n}=\sum{\frac{(-1)^n}{n}}$, que é convergente (série harmônica alternada). Tome $x_n=(-1)^n$, que é limitada. Então

$$ \sum{a_nx_n}=\sum{\frac{1}{n}} $$

que diverge.