Questão 1:

Dadas as séries $\sum{a_n}$ e $\sum{b_n}$, com $a_n=\sqrt{n+1}~-\sqrt{n}$ e $b_n=log{(1+\frac{1}{n})}$ , mostre que $lim~a_n=lim~b_n=0$. Calcule explicitamente a n-ésimas reduzidas $s_n$ e $t_n$ destas séries e mostre que $lim~s_n=lim~t_n=+∞$, logo as séries dadas são divergentes.

Solução:

Temos que

$$ lim~a_n=lim\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$

e também

$$ lim~b_n=lim~log~(1+\frac{1}{n})=log~(lim~1+lim~\frac{1}{n}=log~1=0 $$

calculando as n-ésimas reduzidas $s_n$ e $t_n$ das séries $\sum{a_n}$ e $\sum{b_n}$ temos

$$ s_n=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1 $$

$$ t_1=log~(1+\frac{1}{1})=log~2,~t_2=log~2+log~(1+\frac{1}{2})=log~3, $$

e assim por diante até

$$ t_n=log~n+log~(1+\frac{1}{n})=log~(n+1) $$

Aplicando o limite em $s_n$ e $t_n$ temos

$$ lim~s_n=lim~(\sqrt{n+1}-1)=∞ $$

$$ lim~t_n=lim~log~(n+1)=∞ $$

Portanto as séries são divergentes.

Questão 2:

Use o critério de comparação para provar que $\sum{\frac{1}{n^2}}$ é convergente, a partir da convergência de $\sum{\frac{2}{n(n+1)}}$.

Solução:

Sabemos da hipótese que $\sum{\frac{2}{n(n+1)}}$ é convergente. Para todo $n$ natural temos