El teorema del binomio expande un binomio de la forma $(a+b)^n$ directamente. Antes que nada, recordemos que el coeficiente de x es el número que lo multiplica o lo acompaña. Por ejemplo 32x, 32 es el coeficiente de x; 6 $(x^3)$ , 6 es el coeficiente de $x^3$.
La fórmula general es:
$$ (a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0b^n $$
Los números de la forma $\binom{n}{0}a^n b^0$ , $\binom{n}{2}a^{n-2}b^2$ son números combinatorios y para calcularlos solo tenemos que poner en la calculadora n → shift → la tecla nCr → el número de abajo.
Si tenes un binomio de la forma $(a+b)^n$ el término general es una forma directa de encontrar cualquier término de la expansión sin tener que expandir el binomio entero.
Término general: $\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$donde “n” es la potencia del binomio, y “r” la potencia de b. Si nos piden encontrar el coeficiente de $b^3$, entonces 3 es la r. Es importante no confundirse y poner $n-r$ o en este caso $n-3$ como la potencia de b.