회전 행렬 $R$은 Eigenvalues $\{1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}$와 이에 해당하는 eigenvector $\{\bold{a,I,J}\}$를 갖는다. 여기서 $\bold a$는 회전축이다. 즉, $R\bold a=\bold a$, $\theta$는 회전 축에 대한 회전 각도, $\bold I$, $\bold J$는 $\bold a$에 수직한 평면에 대한 circular points이다. 두 평면 사이에 projective transformation이 다음과 같은 형태를 가즌다고 하자:
$$ H=TRT^\text T $$
$T$는 일반적인 projective transformation이라면 H는 conjugate rotation이다. Eigenvalues는 conjugate relation$^1$ 아래에서 보존 된다. 따라서 projective transformation $H$ 또한 공통의 Scale을 제외하고 $\{1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}$이다.
$^1$Conjugacy는 similarity transformation이라고도 불린다. "Similarity"의 의미는 Isometry + scaling transformation으로써 이 책에서 불리우는 단어와 연관이 없다.
카메라 중심에 의하여 회전하여 얻어진 두 영상을 생각해보자. 두 영상은 conjugate rotation에 의한 관계이다. 이러한 경우 complex eigenvalues는 카메라 회전에 해당하는 각도 ($\theta$)에 의하여 결정 되고, real eigenvalue에 해당하는 eigenvector는 회전 축의 소실점이다. metric inariant인 $\theta$는 projective transformation으로부터 바로 계산할 수 있다.
Planar projective transformation $H$는 만약 axis라고 불리우는 고정점들의 직선과 함께 vertex라고 불리우는 직선 밖에 존재하는 점이 존재하면 planar homology이다.(아래 그림을 보라)
Fig. A7.1. A planar homology. A planar homology is a plane projective transformation which has a line $\bold a$ of fixed points, called the axis, and a distinct fixed point $\bold v$, not on the line, called the centre or vertex of the homology. There is a pencil of fixed lines throught the vertex. Algebraically, two of the eigenvalues of the transformation matrix are equal, and fixed line corresponds to the 2D invariant space of the matrix (here the repeated eigenvalues are $\lambda_2$ and $\lambda_3$).
대수적으로, 이 행렬은 두개의 동일한 eigenvalues와 하나의 구분되는 Eigenvalue를 갖고 그리고 동일한 eigenvalues에 해당하는 eigenspace는 2차원이다. 이 axis는 이 eigenspace를 span하는 두개의 eigenvectors(즉 점들)를 통과한다. vertex는 다른 한 eigenvector이다. 구분되는 eigenvalue와 반복되는 eigenvalue의 비율은 homology의 characteristic invariant $\mu$이다. 즉 공통적인 scale factor를 제외한 eigenvalues는 $\{ \mu, 1, 1\}$이다.
Planar homology의 특성들은 다음을 포함한다: