概率论基本概念

• 加法公式（容 斥 原 理）

• 记号：

  • $AB = A \cap B$ (A, B 同时发生)

• 德摩根公式

• 超几何模型: N 个产品，M 个不合格品。不放回任取 n 个，有 m 个不合格品的概率为:

  $$ \frac{\tbinom{M}{m}\tbinom{N-M}{n-m}}{\tbinom{N}{n}} $$

  • 分子：从 M 个不合格品中选 m 个，从 N-M 个合格品中选 n-m 个

• 放回抽样：N 个产品，M 个不合格品。有放回任取 n 个，有 m 个不合格品的概率为:

  $$ \tbinom{n}{m}\frac{M^m(N-M)^{n-m}}{N^n}=\tbinom{n}{m}(\frac{M}{N})^m(\frac{N-M}{N})^{n-m} $$

  • 相当于 选择 m 个不合格品组合数 * 不合格率^m * 合格率^(n-m)

• 盒子模型: n 不同球放入 N 不同盒，每个盒子球数不限，恰有 n 个盒子各有一球的概率

  $$ \frac{P^n_N}{N^n}=\frac{N!}{N^n(N-n)!} $$

  • 左分母：球入盒所有可能性，左分子：选择 n 个盒子的排列数（不同的球！）

  • 生日问题：n 不同球放入 365 个盒子里，至少两人生日相同的概率

    $$ 1-\frac{365!}{365^n(365-n)!} $$

• 配对模型：n 人 n 帽子，任意取，至少一个人拿对自己的帽子的概率

  • 组合数学（容斥原理）错排数公式： $D_n=n![1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+(-1)^n\frac{1}{n!}]$
  • 概率论方法: $A_i$ 为第 i 人帽子正确。求 P($A_i$ 的并)。

    • $P(A_i)=1/n, P(A_iA_j)=1/n(n-1),...$

    • P($A_i$ 的并)=

      $$ n\frac{1}{n}-\tbinom{n}{2}\frac{1}{n(n-1)}+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!} = \\ 1-\frac{1}{2!}+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!} \to 1-e^{-1} $$

• 条件概率

  • 乘法公式， $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})$

  • 全概率公式 $P(A)=\sum^n_{i=1}P(B_i)P(A|B_i)$

    • 抽彩票模型：n 张彩票 k 张中奖， $A_i$ 为 第 i 次摸到中奖券，则 $A_i=k/n$（不论先后，机会相同）

  • 贝叶斯公式: 已知结果，求原因

    $$ P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)} $$

• 独立性 $P(AB)=P(A)P(B)$

• 元件工作概率

  • 串联
  • 并联 $P(A_1\cup A_2)=p_1+p_2-p_1p_2$
  • 桥式系统（作业）

随机变量

离散分布

1. 二项分布 $X\sim b(n,p)$ ，n 次伯努利试验（单次成功/失败试验）成功次数 k

   $$ P(X=k)=\tbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $$

   （类似于放回抽样）

   n=1 ⇒ 0-1 分布

2. 泊松分布 $X\sim P(\lambda)$

   $$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} $$

   二项分布的泊松近似： $n\to\infin,np\to \lambda$，则……

3. 超几何分布* $X\sim h(n,N,M)$

4. 几何分布* $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ ；伯努利试验首次成功时的次数

5. 负二项分布* $P(X=k)=\tbinom{k-1}{r-1}(1-p)^{k-r}p^r$ ；伯努利试验第 r 次成功时的次数