선형대수학 9/8 (교정본)
일시: 2025.09.08(월) 10:11 — 49분 24초
강의자: 김유빈
[수업 목표]
- ‘선형(Linear)’과 ‘비선형(Nonlinear)’의 차이를 명확히 이해한다.
- 연립 1차 방정식(선형 시스템)의 해(솔루션) 구조를 2D/3D 기하와 연결해 직관적으로 파악한다.
- 해의 존재/유일성/무한성, 일관성(consistency) 개념을 정리한다.
- 어그멘티드 매트릭스(augmented matrix)와 기본 행 연산(Elementary Row Operations)을 익히고,
가우스 소거(Gaussian elimination)·가우스–조르당 소거(Gauss–Jordan elimination)로
REF / RREF를 만드는 과정을 이해한다.
- 랭크(rank), 자유변수(free variable), 차원·자유도 관계(n − r)를 사례로 확인한다.
- 호모지니어스(homogeneous) 시스템의 트리비얼/논트리비얼 해 구조를 파악한다.
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Ⅰ. 선형 vs 비선형
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• 선형 연산자와 스케일링만으로 구성되어 ‘가법성(additivity)’과 ‘동차성(homogeneity)’을 만족하는 경우를 선형이라 한다.
- 예: a·x₁ + b·x₂ 형태의 결합은 선형 결합(linear combination).
• 비선형 예시
- 제곱/루트/지수/사인 같은 비선형 함수, 변수끼리의 곱(xy 등).
- 이런 항이 포함되면 ‘선형 시스템’이 아니다.
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Ⅱ. 선형 시스템의 일반형과 ‘정렬된 n-튜플’(ordered n‑tuple)
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• 입력(변수) x₁, x₂, …, xₙ 과 가중치(계수) wᵢⱼ 가 선형 결합되어 출력 bⱼ를 만든다.
Σᵢ wᵢⱼ xᵢ = bⱼ (j = 1,…,m)
• 해(solution)는 각 변수의 값이 ‘순서 있는 n개 묶음’으로 주어진다: (x₁, x₂, …, xₙ).
이를 ‘ordered n‑tuple(정렬된 n‑튜플)’이라 하고, 순서가 바뀌면 다른 해다.
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Ⅲ. 2차원/3차원 기하 직관: 해의 개수
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A) 2변수 1차 연립(직선 2개)
- 평행(교점 없음) → 해 없음(inconsistent).
- 한 점에서 교차 → 유일해(unique solution).
- 두 직선이 완전히 일치 → 무한해(infinitely many). 해의 집합은 그 직선 전체.
B) 3변수 1차 연립(평면 3개)
- 가능한 배치가 다양하며, 한 점/한 직선/평면 전체/없음 등으로 귀결된다.
- 예: 세 평면이 한 점에서 만나면 유일해, 두 평면이 일치하고 하나가 그 평면을 가로지르면 ‘직선 전체’가 해,
모두 평행하거나 모순 배치면 해 없음 등.
- 용어