📘 강의 정리

1. 연립방정식과 역행렬

• AX = B 꼴의 선형시스템에서 A가 가역(invertible) 하면:X=A−1B

  $X=A−1BX = A^{-1}B$

• 해의 존재 경우:

  1. 해 없음 (No Solution): 평행한 평면처럼 교점이 없는 경우.
  2. 유일해 (Unique Solution): A가 가역일 때.
  3. 무수히 많은 해 (Infinitely Many Solutions): 제약조건이 종속적일 때

2. 역행렬과 성질

• 역행렬 존재 조건:
  • $AB=IAB = IAB=I이면 B는 A의 역행렬이다. (좌·우역행렬은 동일)$
  • A가 가역 ↔ AX = 0의 해가 오직 **자명해(Trivial Solution)**인 경우.
• *가우스 소거법(Gaussian Elimination)**으로 A를 I로 바꾸는 과정에서 오른쪽에 역행렬이 생성됨.
• *비가역(싱귤러)**의 신호:
  • 전체 영(0) 행이나 열 존재.
  • 주대각선에 0이 포함됨선형대수학 9_22.

3. 특별한 행렬 유형

(1) 대각행렬 (Diagonal Matrix)

• 정의: 주대각선 원소만 0이 아닐 수 있고, 나머지는 모두 0.
• 특징:
  • 역행렬: 대각 원소 각각을 역수 처리.
  • 거듭제곱: 대각 원소 각각을 거듭제곱.

(2) 삼각행렬 (Triangular Matrix)

• 상삼각(Upper Triangular), 하삼각(Lower Triangular).
• 성질:
  • 곱해도 형태 유지.
  • 전치(Transpose) 시 서로 바뀜.
  • 가역 조건: 주대각선 원소 모두 0이 아니어야 함.

(3) 대칭행렬 (Symmetric Matrix)

• $정의: A=ATA = A^TA=AT.$
• 성질:
  • 대칭행렬의 합·차·스칼라배는 여전히 대칭.
  • 곱은 교환법칙(AB = BA)이 성립할 때만 대칭.
  • 항상 실수 고유값(real eigenvalue)을 가짐 (심화).