선형대수학 9/15 (교정본) 정리 방식: 원문 내용을 모두 보존하되, 문맥상 어색한 표기·띄어쓰기·중복부호·기호를 정규화했습니다. 의미 왜곡 없이 흐름만 매끄럽게 다듬었습니다. ──────────────────────────────── 선형대수학 9/15 2025. 09. 15 월 오전 10: 18 ・ 51분 23초 김유빈

왜 이렇게 나눠야 되는 거는 지금 없어요. 그냥 이렇게 나눌 수 있다라는 겁니다. 이제 뒤에 여러 가지 편의성 있게 표현하기 위해서 이런 표현법들을 쓰는 거예요. 이렇게 나누는 경우도 있겠지만 또 이렇게 나누기도 해요. 이렇게 로우 단위로 나눌 경우 이러면은 로우 벡터니까 r로 쓴 거예요. 특별한 뜻은 없습니다. 그다음에 그러니까 이게 이렇게 표기돼 있지만 볼드 페이스북에 있잖아요. 볼드 페이스이면 보통 저 배턴 배터리 벡터 이 책에서는 골드 페이스를 다 벡터로 표현을 합니다. 그러니까 이렇게 간단히 돼 있지만 실제로는 얘가 이렇게 길게 돼 있는 로 벡터입니다. 이 두 번째 것도 r2로 표시했는데 얘도 이렇게 하면은 로 2가 되는 로트 벡터가 되는 거고요. 이걸 이렇게 하면 r3 벡터가 됩니다. 마찬가지로 세로로 이렇게 쪼개는 방법도 있어요. 세로로 쪼개서 이거를 c1 컬럼 벡터, c2 컬럼 벡터, c3 컬럼 벡터 세포 플라멘트 이렇게 나눠서 표기하는 것도 가능합니다.

그래서 메이트리스를 이제 막 많이 다루다 보면은 얘네들을 이렇게 서브 메이트리스 변환해가지고 좀 더 쉽게 물론 익숙한 표현이 아니니까는 한눈에 잘 안 들어올 수도 있지만 의미 단념 이게 쪼개 쓰는 경우들도 생깁니다. 그래서 방금 그 원리를 가지고 이렇게 표현이 된다는 거죠. 에메이트스랑 비메이트린스랑 이렇게 있는데 이거를 뒤에 있는 비 메이트리스를 이렇게 칼럼 벡터로 나눈 거예요. b1 b2 이런 식으로 그러면 요거 곱하기 요거가 요지 요거 곱하기 요거가 유지 요거 곱하기 요거가 유지 이 메이트리스랑 컬럼 벡터 곱하면 여전히 컬럼 벡터입니다. 얘는 이렇게 생겼어요. 각자가 숫자로 한번 해보시면 왜 이렇게 되는지 알 수 있을 겁니다. 컬럼 벡터랑 메이트리스 곱하면은 다시 컬럼 벡터가 나와요. 이런 식으로 그래서 얘네들을 이렇게 쭉쭉쭉쭉 쌓으면은 그게 결과 베타가 결과 메이테스가 된다 라는 겁니다.

마찬가지로 이거를 로 벡터로 앞에 있는 거를 로 벡터로 이렇게 서브 메이트로서 표현을 해도 똑같이 이렇게 곱하고 이렇게 곱하고 이렇게 곱해서 a1 b a2 b amb 이런 식으로 좀 더 간단하게 표현할 수가 있습니다. 메이트릭스에서 리니어 컴비네이션이라는 거는 우리 앞에서 했던 거랑 같아요. 그러니까 메이트릭스들이 있고요. a1 a2 쭉 있고 각각의 코이피상트들이 있습니다. 얘네들이 선형 연산자로 결합돼 있는 것을 바로 메이트리스 리니어 컴비네이션이라고 부릅니다. 그래서 이 비슷한 사례를 응용하는 게 이런 게 있죠. 요 앞에 띠오림에 의하면 이 띠오림이 뭐냐 하면은 어떤 m 곱하기 m 메이트리스가 있고요. 그리고 x라는 게 이렇게 생겼어요. x 벡터라는 게 이렇게 생겼어요. a는 애니메이트에서 이렇게 이렇게 생겼습니다.

근데 두 개 곱하기는 캔비 익스프레스에서 리니어 컨디에이션 컬럼베터 a와 각각의 코피전트가 에츠 워스 그러니까 여기 요 벡터 곱하기 첫 번째 이게 어떻게 표현되냐면은 요 벡터 곱하기 첫 번째 그다음에 요 벡터 곱하기 두 번째 요 벡터 곱하기 세 번째로 이렇게 쪼개서 쪼개서 이렇게 리니어 표현이 된다는 거 이 예시를 보면 요겁니다. 이게 a 벡터고 이게 a 메이트릭스고 이게 엑스 팩터예요. 방금 앞에 나온 띠어리움은 뭐냐면은 요거 두 개의 곱하기 꼴은 답은 그냥 구하면 이렇게 나오는데 이제 답을 구하는 게 문제가 아니라 이거를 쪼개서 이렇게 리니어 콤비네이션 꼴로 나타낼 수 있다는 겁니다.

그러니까 이거의 컬럼 벡터 여기 있죠 요 콜럼 벡터는 첫 번째 거 곱해서 더하기, 두 번째 컬럼 벡터는 두 번째 거 곱하기 또 더하기, 세 번째 컬럼 벡터는 세 번째 커플이 이게 곱해져서 더하기라고 하고 나니까 결국에 어떻게 한 거냐 하면 에이메이티스에 있는 컬럼 벡터들이 마치 리니어 컴비네이션 볼로 나온 거예요. 근데 각각의 컬럼 벡터의 웨이트들이 스 벡터에 있었던 애들이 하나씩 여기다가 이렇게 이렇게 들어가 볼래 이렇게 된 겁니다. 그래서 AX의 곱한 꼴은 결국에는 a 컬럼 벡터들이 스웨이트로 리니어 커뮤네이션 돼 있는 꼴이 되더라라는 걸 보여주는 겁니다. 이런 식으로 표현해도 된다라는 이런 분해들이 나중에 이제 고등 기관 가다 보면은 이렇게 해가지고 매트리스 분해하는 것들이 나오고 그래가지고 마찬가지로 이거 똑같은 예시예요. 그래서 a b 벡터를 이거는 a 벡터 이는 b 벡터인데 이거를 그냥 단순히 계산해도 되죠. 이거를 뽑아가지고 하나씩 하나씩 해서 낮게 계산을 해도 됩니다.

해도 되는데 그거를 리니어 컴비네이션으로 쪼개서 쓸 수도 있다는 거예요. 여기 부분은 얘 어떻게 하는 거예요? 첫 번째 이 결과는 사실 뭐냐 하면은 요 컬럼 벡터 컬럼 벡터 컬럼 벡터를 402라는 웨이트로 4 0 2라는 웨이트로 리뉴얼 컴퓨데이션을 나타낸 거랑 같은 거예요. 그리고 또 똑같이 두 번째 컬럼에 있는 결과는 그 결과는 뭐랑 같다고 해석할 수 있냐면 다시 요거 요거 요 세 클럽 벡터를 이번에는 1 마이너스 1 7 1 마이너스 1 7이라는 메이트로 리뉴얼 컴퓨터를 쪼갠 거랑 같은 거 마찬가지로 세 번째 컬럼 멘터도 넣고 네 번째 컬럼 멘터도 이 메시지들은 서로 이렇게 다 쪼개져가지고 연산을 할 수 있다는 거죠. 이 특징이 바로 컴퓨터 입장에서는 굉장히 좋은 거죠. 이게 결국에는 사람은 상관이 없죠. 사람은 어차피 우리가 다 손으로 하는 거니까.

근데 컴퓨터 입장에서는 이렇게 쪼개진다라는 특성 자체가 병렬 연산을 할 수 있다는 뜻이기 때문에 이게 이제 계산에 최적화돼 있는 꼴이라는 거죠. 일단 매트리스 화가 되면 그리고 이 비슷하게 이제 컬럼 로우 익스펜션이라는 개념도 등장을 하는데 어떤 메이트릭스 두 개의 곱하기를 a b를 어떻게 하냐면 앞에 메이트릭스의 벡터들이랑 뒤에 매트리스의 로우 벡터들의 부분 쪼개기로 이렇게 표현할 수가 있어요. 이렇게 이렇게 됩니다. 이게 진짜 되는지 이거는 띠올림인데 한번 볼게요. 그래서 a b 벡터가 주어지면 앞에 메이트리스의 컬러는 요거죠. c1 c2예요. GM 메이트리스의 로우 벡터는 이거죠. r1 벡터 r2 벡터 그래서 칼럼으로 익스펜션에 따르면은 얘네들이 어떻게 표현돼야 돼요? 이게 c1 아 어떡하지 곱하기 c2r2 이렇게 표현돼야 된다는 거잖아요.

앞에 띄우지 못하는 그래서 실제로 해보면 ab 곱하기는 c1하고 하고 c2 r2 해서 계산해 보면 진짜로 그게 원래 값이랑 같더라라는 겁니다. 그렇죠. 그래서 이거 이런 식으로 컬럼으로 익스텐션이 성립한다는 걸 보일 수가 있습니다. 그다음에 나오는 개념은 트랜스포즈라는 개념이에요. 트랜스 포즈는 이 t라고 표시를 할 건데 어떤 메이트리스 위에다가 위청 자로 오른쪽 위청자로 t라는 게 붙어 있으면 얘가 바로 트랜스 포즈입니다. 트랜스포즈의 의미는 뭐냐면 여기 이제 데펜션들이 나와 있는데 이게 뭐냐 하면 이거에 인터체인징 로우 젠 컬럼 셀이에요. 그러니까 한마디로 로우 벡터와 컬럼 벡터가 서로 뒤집혔다는 얘기입니다. 그래서 어떻게 하냐면 간단하게는 얘가 1 1 자리죠. 얘가 2 1 자리죠. 얘는 3일 자리입니다. 얘는 1 2 자리 1 3 자리예요.

이게 어떻게 되냐면 로우와 컬럼이 뒤집힌다고 했으니까 예를 들어 얘를 보면 2일 자리인데 얘가 1 2 자리로 바뀌는 거예요. 어디로 가요? 여기로 가는 거죠. 반대로 마이너스 2는 원래 1 2 자리에 있었는데 이게 뒤집힌다고 그랬으니까 21 자리로 이 자리로 그러면 마이너스 5 같은 경우에는 3일 자리에 있었는데 뒤집으니까 13자리가 여기로 갑니다. 그리고 4는 1 3 자리에 있으니까 뒤집히는 3일 자리는 여기야. 그래서 간단하게 얘기하면 이 메인 다이어고널들 기준으로 해서 얘네들은 안 바뀌니까 얘를 기준으로 해서 거울처럼 뒤집히면 이게 반대쪽으로 뒤집히는 식으로 넘어가면 그럼 그게 바로 트랜스포즈가 됩니다. 그래서 원래 있던 거에 트랜스포 코지는 이런 식으로 바뀌어요. 1 7 6은 메인 다이어 분할에 있는 애들이니까 얘네들은 바뀌지 않습니다.

그렇죠 그리고 3에 있던 게 일로 왔고 이 자리에 있던 게 이쪽으로 왔고 그리고 이 자리에 있던 거는 요리로 내려왔고 이 자리에 있던 거는 여기로 왔죠. 그래서 뒤집힌 거예요. 말 그대로 그리고 트랜스포스 현상은 꼭 스퀘어 메트리스가 아니어도 성립합니다. 그러니까 스퀘어 메티리스는 정확하게 정사각형 로우 개수와 컬러 개수가 같은 거잖아요. 근데 트랜스포스 연산은 m바이n 그러니까 일반적인 매트리스에 대해서도 성립 돼요. 그러니까 생긴 게 이렇게 길쭉하게 생긴 거에 트랜스포스를 하면 그러면 이게 뒤집혀가지고 이번에는 이렇게 되겠죠. 이런 모양으로 됩니다. 그래서 n바이 n이 일반적인 에이서 트랜스포즈을 성립한다라는 뜻입니다. 여기 예시들이 이렇게 나와 있대요. 이게 그거죠. 당연한 거니까 넘어갈게요. 특이한 것만 하나 보면은 이거죠. 이거는 그냥 일반적인 로어 벡터입니다.

원 바이 3 짜리 로 벡터. 근데 이것도 뒤집으면 어떻게 되냐면 이거는 로우 벡터가 컬럼 벡터로 뒤집히죠. 이렇게 됩니다. 그렇죠 이게 1 1 자리였고 1 2 자리고 1 3 자리였는데 얘네들이 뒤집히면 어디로 가야 돼요? 1 1은 그대로 있고 1 2 자리에 있던 거는 2일로 가야 되니까 2일로 갔고 13자리에 있던 거는 3일이 돼야 되니까 일로 왔으니까. 그래서 컬럼 벡터가 로우 벡터로 바뀌고 반대로 로우 벡터가 컬럼 벡터로 바뀐다. 그리고 여기 또 특수 폴리 하나 있는 거 보면 이건 그냥 하나짜리 엔트리 하나짜리 네트리스잖아요. 그러면 얘는 뒤집은 다 만나 의미가 없겠죠. 1 콤마 1밖에 없었으니까 얘는 트랜스포즈 해도 그대로 제 자리는 그대로 있어요. 좀 특이하게 생긴 거죠. 그래서 여기 쓰여 있는 표현은 결국에는 어떤 메이트레스에 트랜스포즈를 하면 얘의 로우 인덱스랑 컬럼 인덱스가 서로 뒤바뀌는 거랑 같은 얘기다라고 볼 수 있습니다.

그다음에 또 약간 비슷한 이름이 기가 나오는데 트랜스 포즈랑 트레이스랑은 이제 좀 다른 거죠. 헷갈리기 쉬운데 트레이스라는 개념이 있습니다. 트레이스 트레이스는 뭐냐 하면은 스퀘어 메이트릭스의 이도 다르죠. 전제 자체가 스퀘어 메이트리스일 때만 트레이스를 구할 수 있어요. 스퀘어 메이트리스 아닐 때는 트레이스라는 말이 존재하지 않습니다. 그래서 메이트리스 an 아까 그 트랜스포즈 위에다가 t 붙였잖아요. 근데 이것도 t 똑같은 거 쓰면 안 되니까 얘는 다르게 씁니다. 얘는 트레이스 a라고 이렇게 함수꼴로 써요. 반적으로 TR 하고 가로하고 a 메트리스 쓰면 이게 a 메이트리스의 트레이스라는 뜻입니다. 그래서 얘는 뭐냐면 그 대각선에 있는 애들 메인 다이어거나 이런 애들을 다 더한 거예요. 트레이스가 이렇게 그래서 트랜스 a 하면은 a 1 1 더하기 a2 2 더하기 a 트레입니다. 되게 간단하죠.

개념이 근데 이게 되게 당연 이게 쉬운 것처럼 보이지만 실제로 나중에 트레이스라는 게 이 메이트의 성 성질을 나타내는 데 되게 중요하게 쓰입니다. 이건 다음 넘어가야지 이제 기억이 나고요. 일단은 정의부터 배워뒀고요. 그래서 여러 가지 프로포티들을 이제 우리가 쭉 지금 훑어왔는데 이 웨이트리스의 지금까지 배운 연산들의 성질을 한번 정리해 보 그래서 웨이트리스는 더하기에 대해서 컴퓨터 로그죠. 이 교환 법칙이다. 그치 교환 법칙은 a b랑 b a랑 순서를 바꿔도 됩니다. 아까 곱하기는 안 된다고 그랬어요. 더하기 위해서는 순서를 바꿔도 상관이 없습니다. 그리고 그다음에 어소시에이티브 로니까 결합 법칙이죠. a 더하기 b 더하기 c를 할 때 뒤에 거 먼저 결합해가지고 계산하는 거랑 앞에 거 먼저 결합해서 계산하는 거랑 결과는 같습니다. 더하기에 대해서 그게 이거고요.

그다음에 곱하기에 대해서도 결합 법칙이 성립을 하는데 3개의 a b c 메티스를 곱할 때 뒤에 거 먼저 곱하고 앞에 거 곱하는 거랑 앞에 거 먼저 곱하고 뒤에 거 곱하는 거랑 결과가 같습니다. 그래서 멀티플리케이션에 대해서도 결합 법칙이 성립한다입니다. 단 순서를 바꾸면 안 된다. 이게 이게 중요한 거죠. 그다음에 이제 이건 뭐냐면 분배 법칙이죠. 래프트 디스트리뷰티는 뭐예요? 그러니까 왼쪽 분배 법칙이라는 뜻이에요. 예전에는 분배 복지 그냥 분배 복지이고 그냥 일반 NGV 할 때는 레프티나 라이트라는 표현이 등장하지 않아요. 근데 지금은 그게 등장을 하죠. 이게 왼쪽에서 곱해지는 거 분배되는 거 또는 오른쪽에서 분배되는 거에 구분을 둡니다. 이게 이제 순서가 중요하기 때문에 이런 표현들을 쓰는 거예요. 왼쪽에서 곱해지는 거랑 오른쪽 뒤에서 곱해지는 거랑은 순서 때문에 곱하기가 다르다고 그랬잖아요. 그래서 이 두 가지에 대해서 따로 말을 합니다.

그래서 네 왼쪽 곱하기 분배 법칙이랑 오른쪽에서 곱해지는 분배 법칙은 둘 다 성립을 하는데 역시 마찬가지로 순서는 바꾸면 안 됩니다. 네 오른쪽에서 곱해진다고 해서 이거를 a b로 바꾸면 안 되고 반드시 b a가 돼야 되고 CA가 돼야 되죠. 순서를 지키는 한에서는 분배 법칙도 성립을 합니다. 여기 마이너스 버전은 동일한 거죠. 마이너스 버전은 그냥 플러스에 앞에 스펠링이 하나 마이너스 1이 있는 거랑 같은 거니까 같은 겁니다. 결과적으로는 그래서 앞에 성립한 거 두 개가 마이너스에서도 다 성립을 한다. 그다음에 이제 어떤 스칼라가 곱해졌을 때 스칼라 곱해졌을 때는 특이할 거 없습니다. 그냥 네 하죠. 앞에도 곱해지고 뒤에도 곱해지고 숫자 2나 3 곱하기 했을 때는 그냥 분배 법칙이 되는 거고요. 그다음에 이것도 마찬가지고 수자들끼리 있는 것들은 당연히 이렇게 분배되는 거랑 마찬가지입니다.

그리고 이것도 스칼라들끼리 곱해질 때 a b가 먼저 곱해진다. 이것도 뭐 똑같죠 이거 특이할 거 없습니다. 이니얼 지브라라고 달라지는 거 없어요. 여기도 마찬가지예요. 여기서도 달라지는 건 없습니다. 그래서 대부분의 것들은 비슷하게 성립을 하지만 유일하게 안 되는 거는 순서 바꾸는 거는 값이 달라진다. 절대 하면 안 된다라는 게 특이 사항입니다. 그래서 그걸 이제 확인해 본 거예요. 그래서 여기 보면은 a b c 3개의 메이트리스가 있을 때 ab 곱한 거랑 BC 곱한 거랑 해서 이렇게 해본 거죠. ab를 먼저 곱해가지고 한 값을 손으로 계산해보고 그다음에 b c를 먼저 곱한 걸 계산을 해봤더니 앞에 띄우림에 나오듯이 당연히 두 개는 같더라라는 거를 이제 숫자 예시로 보내주는 겁니다. 이거는 숫자 이건 증명은 아니죠. 이걸 어떤 특정한 숫자로 보여준 거니까 이거는 스페셜 케이스에 대해 되는 걸 보여준 거지 이게 일반적인 경우에 된다라고 증명한 건 아닙니다.

만약에 이게 일반적인 거에 대해서 증명을 하려면은 이거를 특정한 숫자로 놓지 않고 x y g 이런 식으로 놓은 다음에 abcd 이렇게 놓은 다음에 항상 이게 같아질 수밖에 없다라는 걸 보이면 그건 증명이죠. 근데 지금까지 보인 거는 그냥 된 거를 확인해 본 거지 이게 일반 케이스에 대해서 된다라고 증명한 건 아니에요. 그다음에 오더 매럴스라고 그랬잖아요. 그 숫자 아니 숫자보다 이 순서가 중요합니다. 앞에서 말씀을 드린 것처럼 이거에 이제 반례를 하나 보는 거죠. ab랑 BA가 서로 다르다라는 거에 대해서 실제로 이렇게 될 수밖에 없다라는 거를 관례를 하나 보여준 겁니다. 보면 a가 이렇게 있고 b가 이렇게 있을 때 a b 곱한 건 이렇게 되고 순서 바꿔서 BA 한 건 이렇게 되니까 두 개는 서로 다르다입니다.

그러니까 이게 순서를 바꿔도 같다라는 어떤 명제가 있을 때 거기에 대한 관례를 보여주는 반대로 이게 성립하지 않는다는 걸 증명하는 건 쉬워요. 왜냐하면 안 되는 거 하나만 보여주면 되니까 그럼 우리 깨지잖아요. 근데 항상 성립한다는 거를 보여주려면 그리고 이제 제너럴 케이스에 대해서 다 증명을 해야 돼요. 지금 같은 경우에는 안 된다는 걸 보여주려고 발레 하나만 딱 보여주는 거죠. 여기 이제 제로 메이트리스라는 게 나오는데요. 제로 메이트리스라는 건 제가 이제 동영상에서도 말씀드렸지만 주의할 게 있습니다. 항상 좀 크게 보이면 0으로 이루어진 매트리스를 제로 매트릭스라고 불려요. 그러니까 00 00 메이트리스에서 나오는 재료랑 이거를 이렇게 표시하는데 이 메이트리스 재료랑 우리가 숫자 할 때 여기에 쓰는 스칼라 값 제로랑은 서로 다른 거예요. 하나는 메이트x 하나는 스칼라잖아요. 완전히 다른 거죠.

그래서 보통 이거를 표기를 할 때 구분을 하는데 손으로 쓸 때는 예를 들어 벡터나 ats를 이렇게 발을 쓰는 경우가 많고요. 법칙에는 없어요. 이렇게 쓰는 경우도 있고 아니면은 손으로 쓸 때 약간 이런 식으로 쓰는 경우도 있어요. 이렇게 겹쳐가지고 하나 더 이게 이제 일반 스칼라가 아니라고 쓰는 경우 가 있고 책에서는 보통 폰트를 어떻게 구분하냐면 여기 이게 나오죠. 이 책에서는 지금 어떤 컨벤션을 쓰고 있냐면 대문자의 이텔릭은 메이트리스로 표현하고 있어요. 대문자 이미지 이텔릭 여기 보면 이거 a는 메이트릭스 a죠. 그리고 여기 있는 숫자는 보면은 기울인 거예요. 이텔릭체 0이잖아요. 얘는 지로메이트릭스의 지로입니다. 여기 뒤에 보면 이거랑 다르게 생겼죠. 숫자 정자 0으로 생긴 거는 이거는 숫자 0이에요. 숫자 0 스칼라 형이에요. 다른 데도 볼까요? 이거를 여기 책이 오타 낸 것만 아니면 제대로 지키고 있습니다. 여기 봐요. 숫자형을 쓸 때는 그냥 정자로 씁니다.