개론

• 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 벡터(vector)라 한다.
  • 벡터는 흔히 화살표로 표현하며 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타난다.
  • 벡터로 기술할 수 있는 물맂거 상황은 크기와 방향만 고려하면 충분한 경우가 많다. 다시 말해 벡터가 어디에 위치했는지와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 생각한다.
• 두 물리량이 함께 작용할 때, 물리량의 크기 뿐만 아니라 방향을 함께 고려해야 함을 알 수 있는데, 두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다.
  • 이 합성벡터를 두 벡터의 합(sum)이라 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law)라고 한다.
• 벡터 합의 평행사변형 법칙)
  • 시점이 $P$로 일치하는 두 벡터 $x, y$의 합은 점 $P$에서 시작하는 벡터이고, 이는 $x$와 $y$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.

https://drive.google.com/uc?id=1-LJnFk98IlprJgvGIfQaTMb7PNRlNyR6

• 평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같으므로 벡터 $x + y$의 종점 $Q$는 점 $P$에서 시작하는 벡터 $x$의 종점에 벡터 $y$ 의 시점을 이여붙여 도달한 것으로 이해할 수 있다.
  • 같은 방식으로 벡터 $y$의 종점에 벡터 $x$의 시점을 이어붙여도 종점 $Q$ 에 도달할 수 있다. 점 $P$에 작용한 두 벡터를 합할 때는 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어붙이는 방식으로 더한다.
  • $x$와 $y$ 중 어느 것을 먼저 택하고 어느 것을 처음 벡터의 종점에 이어붙일지 그 순서는 중요하지 않다.
• 벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다. 두 벡터 $x$와 $y$를 포함하는 평면에 $P$ 를 원점으로 하는 직교좌표를 부여하자.
  • 아래 그림 (a)와 같이 벡터 $x$의 종점을 $(a_{1}, a_{2})$, 벡터 $y$ 의 종점을 $(b_{1}, b_{2})$라 하면, 벡터 $a + b$의 종점은 $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$이다.
• 이제부터 좌표를 사용하여 벡터를 해석할 때 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다. 시점이 원점이면 종점이 벡터를 결정하므로, 시점을 원점으로 하는 벡터 $x$의 종점을 간단히 점 $x$라 쓰기도 할 것이다.
• 벡터의 합 이외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있는데, 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수 있는 스칼라 곱(scalar multiplication)이다.
  • 벡터 $x$를 유향선분으로 이해하자. 0이 아닌 실수 $t$에 대하여 벡터 $tx$의 방향은 $t > 0$일 때 $x$의 방향과 같고, $t < 0$일 때 $x$의 방향과 180도 반대이다.
  • 벡터 $tx$의 크기는 유향선분 $x$의 크기에 $|t|$를 곱한 것이다.
  • 영이 아닌 두 벡터 $x, y$에 대하여 $y = tx$인 $0$이 아닌 실수 $t$가 존재할 때, 두 벡터는 평행(parallel)하다. 다시 말해 방향이 같거나 180도 반대인 벡터들은 평행하다.
• 벡터 $x$ 의 시점이 원점이 되도록 하는 좌표평면을 사용하면 스칼라 곱을 대수적으로 설명할 수 있다. 원점을 시점으로 하는 벡터 $x$의 종점이 $(a_{1}, a_{2})$일 때, $tx$의 종점은 $(ta_{1}, ta_{2})$이다.

https://drive.google.com/uc?id=1-b9-aSLvIZ0Z1i5KDjqMabl9UZLnETBI

• 평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8가지 성질을 확인할 수 있다.
  1. 모든 벡터 $x, y$에 대하여 $x + y = y + z$이다.
  2. 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$이다.
  3. 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$를 만족하는 벡터 $O$이 존재한다.
  4. 각 벡터 $O$ 마다 $O$을 만족하는 벡터 $O$가 존재한다.
  5. 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$이다.
  6. 모든 실수 $O$와 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$이다.
  7. 모든 실수 $O$와 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$이다.
  8. 모든 실수 $O$와 모든 벡터 $O$에 대하여 $O$이다.
• 공간에서 서로 다른 두 점 $A, B$를 지나는 직선을 생각하자. 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을 $O$라 표기하자.
  • 시점이 $O$이고 종점이 $A, B$인 두 벡터를 각각 $u, v$라 하자.
  • 시점이 $A$ 이고 종점이 $B$인 벡터를 $w$라 할 때, 시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 $u + w = v, w = v - u$이다.
  • 이때 $-u$는 $(-1)u$를 의미한다. $w$의 스칼라 곱은 $w$에 평행하지만 크기는 $w$와 다를 수 있다.
• 두 점 $A, B$를 이은 직선 위 임의의 점은 $A$를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 $t$에 대하여 $tw$의 형태로 표현할 수 있다.
  • 반대로 $A$를 시점으로 하는 벡터 $tw$의 종점은 두 점 $A, B$를 지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$x = u + tw = u + t(v-u)$

• 단, $t$는 임의의 실수이고 $x$는 직선 위 임의의 점
• 한 아래 그림에서 벡터 $v - u$의 종점 $C$의 좌표는 $B$의 좌표에서 $A$의 좌표를 뺀 것과 같음을 유념하자.
• (벡터로 표현한 직선의 방정식에서 $u$는 시점의 역할을 하고 $v -u$는 직선의 방향을 의미한다. $t$는 적절한 실수배로서 벡터의 크기를 결정함)