수업 시간에 자연수 거듭제곱의 합 공식을 선생님께서 유도하시는 것을 보고, 그 전까지는 공식을 그냥 아무 생각 없이 외워서 썼었었는데 이게 유도가 된다는 사실이 신기하였다.

선생님께서 "이렇게 하면 네 제곱일 때도 할 수 있겠죠? 너네들은 프로그래밍으로 또 금방 할 수 있을 것 같은데"라고 넌지시 던지신 말씀이 떠올라서(정확하지는 않지만 대충 이런 내용의 말씀을 하셨던 기억이 난다,,), 한 번 이런 걸 프로그래밍으로 짜보는 것도 재밌을 것 같아 해보고 싶었다.

1. 공식 유도

시그마 k의 유도

시그마 k^2의 유도

시그마 k^3의 유도

규칙을 찾아보자면,

우선, $\sum_{k=1}^{n}(k)$를 구하기 위해 $\sum_{k=1}^{n}((k+1)^2-k^2)$를 이용했고, 시그마 $\sum_{k=1}^{n}(k^2)$를 구하기 위해 $\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)$을 이용했다.

따라서 시그마 $\sum_{k=1}^{n}(k^x)$를 구하기 위해서는 $\sum_{k=1}^{n}((k+1)^{x+1}-k^{x+1})$을 이용할 수 있을 것이다.

그리고, $\sum_{k=1}^{n}(k^2)$를 구하기 위해 $\sum_{k=1}^{n}(k)$ 가 사용되었고, $\sum_{k=1}^{n}(k^3)$을 구하기 위해 $\sum_{k=1}^{n}(k^2)$와 $\sum_{k=1}^{n}(k)$이 사용되었음울 알 수 있다.

따라서, $\sum_{k=1}^{n}(k^x)$를 구하기 위해 $\sum_{k=1}^{n}(k^1), \sum_{k=1}^{n}(k^2),\cdots,\sum_{k=1}^{n}(k^{x-2}),\sum_{k=1}^{n}(k^{x-1})$을 알아야 할 필요가 있다.

한편, 맨 아래줄의 식에서 계수를 살펴보면 규칙을 찾을 수 있다.