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대수구조

대수구조

수 뿐만 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상.

간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.

여러 대수구조

• 집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
• 반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
• 모노이드: 항등원을 갖는 반군
• 군: 역원을 갖는 모노이드
• 아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
  • 아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
• 환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
  • 환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
  • 1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
• 가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
  • 벡터공간은 가군의 한 종류
  • 가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
• 가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
  • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
• 나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
  • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
• 체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
  • 2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.

$(\mathbb{R}, *), (V, +, \cdot)$ -> 이런식으로 표기되면 대수구조가 된다. 대상이 되는 집합을 정의하고 그 집합에 적용되는 연산에 대한 정의가 되면 대수구조가 된다.

환 이전까지는 연산의 종류가 1종류이고 환 이후로 체까지는 연산의 종류가 2가지가 됨. 연산의 종류가 3개 이상인 경우도 있으나 여기서는 생략.

벡터공간