https://youtu.be/PxFllkYXVTg

테일러급수 전개

Def. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$에 대하여 $(c - \delta, c + \delta)$에서 함수 $f$가 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$이면 $f$는 $x = c$에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$가 열린구간 $I$의 모든 점에서 해석적이면 $f$를 $I$에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 $f$가 구간 $I$에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 $c \in I$에 대하여 구간 $(c  -\delta, c + \delta)$에서

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}$

을 만족시키는 $\delta > 0$이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 $f$의 테일러급수라 하고, 특히 $c = 0$ 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

${1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... = \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)$

$\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)$

참고) $y = {1 \over x}$와 $y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k}$의 그래프 비교

https://drive.google.com/uc?id=1U_vh74q49Xu_V6UXHAVH9k8a49LwerDo