(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

# 개념

• $\vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))$
• $d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})$
• $= \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right)$(벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
• $= \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2} + ... + a_{1n} dx_{n} \\ a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2} + ... + a_{2n} dx_{n} \\ ... \\ a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2} + ... + a_{mn} dx_{n} \end{array} \right)$
• $= \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\ dx_{2} \\ ... \\ dx_{n} \end{array} \right)$
• $= J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}$
• ($J_{\vec{F}}$은 야코비 행렬이라 부른다)
• 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
• $(J_{\vec{F}}){ij} := {\partial F{i} \over \partial x_{j}}$
• $\vec{T} : \vec{p}$ 에서 미분 가능
• $\Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|$
• $\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}$
• $\vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k}$ 이고 각각 미분 가능하면
• $\Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |{\vec{x}} = J{\vec{G}} |{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J{\vec{F}} |_{\vec{x}}$
• $(J_{\vec{G} \circ \vec{F}}){ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F}){i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}$
• $= {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} + {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... + {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}}$ (∵ 연쇄법칙)
• $= \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}$
• $= \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |{\vec{F}}){il} (J_{\vec{F}})_{lj}$
• $= (J_{\vec{G}} |{\vec{F}} \cdot J{\vec{F}})_{ij}$
• 역함수 미분법 (일변수 실함수)
• $f(x)$ : 미분 가능, $\forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
• $f(x)$ : 미분 가능, $f^{-1}$가 존재 $\Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}$
• $f(x) = x^{2}$과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 ${df \over dx} \neq 0$ 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
• $\vec{F}(\vec{x})$의 역함수 $\vec{F}^{-1}(\vec{x})$가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
• $J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1}$이다.