무한개의 수열을 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ \{x_k\}^\infin_{k=1}=\{x_1,x_2,\dots\}=\{x_k\} $$
모든 $\epsilon>0$에 대해 다음 식을 만족하는 $K$가 존재하면 $\{x_k\}$는 $x$로 수렴한다. (epsilon)
$$ \Vert x_k-x\Vert_2 \le\epsilon, for\ all\ k \ge K $$
이는 $\underset{k\rightarrow\infin}\lim x_k = x$나 $x_k\rightarrow x \ as\ k \rightarrow \infin$ 과 같이 나타낼 수 있다.
이때 $x$를 $\{x_k\}$의 limit(극한)이라 한다.
주어진 무한한 인덱스 집합 $S \subset \{1,2,\dots\}$에 대해 $\{x_k\}$의 subsequence를 만들 수 있다.
그리고 아래와 같이 표현한다.
$$ \{x_k\}_{k\in S} $$
subsequence $\{x_k\}{k\in S}$가 $\hat x$으로 converge한다면, 즉 $\underset{i\rightarrow\infin}\lim x{k_i} = \hat x$라면 $\hat x$를 $\{x_k\}$의 limit point라 한다. (accumulation point나 cluster point라고도 함.)
$\forall\epsilon>0 ,\forall _{K>0}\quad \Vert x_k -\hat x\Vert_2<\epsilon, for\ some\ k\ge K$
모든 양수 $\epsilon$에 대해 다음 식을 만족하는 정수 $K$가 존재하면 Cauchy sequence라 한다.
$$ \Vert x_k - x_l\Vert_2 \le \epsilon, \forall_{ k \ge K},\forall_{ l\ge K} $$
즉, 수열값들 간의 차이가 거의 없어진다.