기저와 차원

• 앞서 $S$ 가 부분공간 $W$의 생성집합이고, $S$ 의 어떤 진부분집합도 $W$를 생성하지 못할 때, $S$ 는 일차독립임을 확인하였다.
  • 일차독립인 ($W$의) 생성집합 $S$ 에는 아주 특별한 성질이 있다. $W$에 속한 벡터는 반드시 $S$ 의 일차결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다.
  • 이 성질을 이용하면 일차독립인 생성집합은 주어진 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각이라 할 수 있다.
• 정의)
  • 벡터공간 $V$와 부분집합 $\beta$를 생각하자. $\beta$가 일차독립이고 $V$를 생성하면 $V$의 기저(basis)라 한다. $\beta$가 $V$의 기저일 때, $\beta$의 벡터는 ($V$의) 기저를 형성한다.
• 예제 1)
  • $span(\emptyset) = \{ 0 \}$이고 $\emptyset$은 일차독립이다. 즉, $\emptyset$은 점공간의 기저이다.
• 예제 2)
  • 벡터공간 $F^{n}$에 대해 다음 벡터를 생각하자.
    • $e_{1} = (1, 0, 0, ... , 0), e_{2} = (0, 1, 0, ... , 0), ... , e_{n} = (0, 0, 0, ... , 1)$
  • 집합 $\{ e_{1}, {2}, ... e{n} \}$는 $F^{n}$의 기저이다. 이 특별한 기저를 $F^{n}$의 표준기저(standard basis)라 한다.
• 예제 3)
  • 행렬 $E^{ij} \in M_{m \times n}(F)$는 $i$행 $j$열 성분만 $1$이고, 나머지 성분은 $0$인 행렬이다. 집합 $\{ E^{ij} : 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \}$는 $M_{m \times n}(F)$의 기저이다.
• 예제 4)
  • 집합 $\{ 1, x, x^{2}, ... , x^{n} \}$은 벡터공간 $P_{n}(F)$의 기저이다. 이 특별한 기저를 $P_{n}(F)$의 표준기저라 한다.
• 예제 5)
  • 집합 $\{ 1, x, x^{2}, ... \}$는 $P(F)$의 기저이다.
• 예제 5에 따르면 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다. 이번 절의 후반부에서는 $P(F)$의 어떤 기저도 유한집합일 수 없음을 보일 것이다. 기저가 유한집합이 아닌 벡터공간도 존재한다.
  • 기저의 매우 중요한 성질을 설명하는 다음 정리는 특히 다음 장에서 자주 사용한다.
• 정리 1.8)
  • 벡터공간 $V$와 이 공간에 속한 서로 다른 $n$개의 벡터 $u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}$를 생각하자. 집합 $\beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \}$가 $V$의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 '임의의 벡터 $u \in V$를 $\beta$에 속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다'는 것이다.
  • 즉 유일한 스칼라 $a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}$에 대하여 벡터 $v$는 다음과 같다.
    • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
  • 증명)
    • $V$의 기저를 $\beta$라 하자. 벡터 $v \in V$에 대하여 $span(\beta) = V$이므로 $v \in span(\beta)$이다. 이제 $v$의 $\beta$에 대한 일차결합 표현을 두 가지로 표현할 수 있다고 가정하다.
      • $v = a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + ... + a_{n}u_{n}$ 이고 $v = b_{1}u_{1} + b_{2}u_{2} + ... + b_{n} u_{n}$
    • 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 다음과 같다.
      • $0 = (a_{1} - b_{1})u_{1} + (a_{2} - b_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} - b_{n}) u_{n}$
    • $\beta$가 일차독립이므로 $a_{1} - b_{1} = a_{2} - b_{2} = ... = a_{n} - b_{n} = 0$이고 $a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2}, ... , a_{n} = b_{n}$이다. 따라서 $\beta$에 대한 $v$의 일차결합 표현은 유일하다.
• 정리 1.8에 의하면 $u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}$이 $V$의 기저를 형성할 떄 $V$의 모든 벡터는 적절히 스칼라 $a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}$를 가져와 다음과 같이 유일한 일차결합 형태로 표현할 수 있다.
  • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
  • 즉 $V$가 주어지면 스칼라 $n$ 순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$이 결정된다.
  • 반대로 스칼라 $n$ 순서쌍이 주어지면 각 성분을 $(u_{1}, u_{2}, ... , u_{n})$의 일차결합의 계수로 가지는 유일한 벡터 $v$를 생각할 수 있다.
  • 그렇다면 벡터공간 $V$는 벡터공간 $F^{n}$와 별반 다를 바 없어 보인다. 이때 $n$은 $V$의 기저를 형성하는 벡터의 개수이다.
  • 2.4절에서는 두 벡터공간이 본질적으로 같음을 확인할 것이다.
  • 이 책은 주로 기저가 유한집합인 경우를 다룬다. 정리 1.9에 의하면 벡터공간의 상당수가 이 범주에 들어간다.
• 정리 1.9)
  • 유한집합 $S$가 벡터공간 $V$를 생성하면 $S$의 부분집합 중 $V$의 기저가 존재한다. 즉,$V$에는 유한집합인 기저를 포함한다.
  • 증명)