벡터 공간

• 앞서는 좁은 의미의 벡터에 대해 정의하였는데, 이번 절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개한다.
• 정의)
  • 체 $F$에서 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) $V$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합니다.
    • 합(sum)은 $V$의 두 원소 $x, y$에 대하여 유일한 원소 $x + y \in V$를 대응하는 연산이다. 이때 $x + y$는 $x$와 $y$의 합이라 한다.
    • 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응하는 연산이다. 이때 $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라 곱(product)이라 한다.
  • (VS1) 모든 $x, y \in V$에 대하여 $x + y = y + x$이다. (덧셈의 교환 법칙)
  • (VS2) 모든 $x, y, z \in V$에 대하여 $(x + y) + z = x + (y + z)$이다. (덧셈의 결합법칙)
  • (VS3) 모든 $x \in V$에 대하여 $x + 0 = x$인 $0 \in V$이 존재한다.
  • (VS4) 각 $x \in V$마다 $x + y = 0$인 $y \in V$가 존재한다.
  • (VS5) 각 $V$에 대하여 $V$이다.
  • (VS6) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(ab)x = a(bx)$이다.
  • (VS7) 모든 $a \in F$와 모든 $x, y \in V$에 대하여 $a(x + y) = ax + ay$이다.
  • (VS8) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(a + b) x = ax + bx$이다.
• 체 $F$의 원소는 스칼라(scalar) 벡터공간 $V$의 원소는 벡터(vector)라 한다.
• 벡터공간은 정확하게 '$F$-벡터공간 $V$'라 표기해야 한다.
  • 혼란의 여지가 없으면 체 $F$를 생략하고 '벡터공간 $V$'라 적는다.
• $a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}$이 체 $F$의 원소일 때 $(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$ 꼴의 수학적 대상을 $F$에서 성분을 가져온 $n$ 순서쌍($n$-tuple)이라 한다.
  • $F$ 에서 성분을 가져온 두 $n$ 순서쌍 $(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$과 $(b_{1}, b_{2}, ... , b_{n})$은 $a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, ... , n)$일 때, 같다(equal)고 정의한다.
• 예제 1)
  • 체 $F$에서 성분을 가져온 모든 $n$ 순서쌍의 집합을 $F^{n}$이라 표기한다.
  • $u = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}, v = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}, c \in F$일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 $F$-벡터 공간이다.
    • $u + v = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ... , a_{n} + b_{n})$
    • $cu = (ca_{1}, ca_{2}, ... , ca_{n})$
  • 따라서 $R_{3}$는 $R$-벡터 공간이다. 예컨대 $R^{3}$에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
    • $(3, -2, 0) + (-1, 1, 4) = (2, -1, 4)$
    • $-5(1, -2, 0) = (-5, 10, 0)$
  • 같은 방식으로 $C^{2}$은 $C$-벡터 공간이다. 예컨대 $C^{2}$에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
    • $(1 + i, 2) + (2 - 3i, 4i) = (3-2i, 2+4i)$
    • $i(1 + i, 2) = (-1 + i, 2i)$
• $F^{n}$의 벡터는 행백터(row vector) $(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$ 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.

$\left( \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right)$

• 1 순서쌍은 $F$에서 하나의 성분만 가져오므로 체 $F$의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 $F$에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 $F^{1}$이라 쓰기보다 편하게 $F$라 쓰는 경우가 많다.
• $F$에서 성분을 가져온 $m \times n$ 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

$\left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)$

• 이때 모든 $a_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$는 $F$의 원소이다.
  • $i = j$인 성분 $a_{ij}$는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
  • 성분 $a_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in}$는 이 행렬의 $i$번째 행(row)
  • 성분 $a_{1j}, a_{2j}, ... , a_{mj}$는 이 행렬의 $j$번째 열(column)
  • 행렬의 각 행은 $F^{n}$벡터로, 각 열은 $F^{m}$의 벡터로 나타낼 수 있다.