https://youtu.be/gKQ3doGGZdU

고윳값과 벡터

• 고윳값은 원어(독일어, eigenvalue)로는 특수한 값이라는 뜻이지 유일한 값이라는 뜻은 아니다.

정의

체 $F$에 대한 벡터공간 $V$ 위의 선형사상 $L : V \to V$에 대하여 다음 두 조건

1. $v \neq \vec{0}$
2. $L(v) = \lambda_{v}$

를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v \in V$를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다.

• ex) $v = (2, 3), L \mapsto M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)$
  • $L(v) \mapsto Mv = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -4 \\ -6 \end{array} \right) = -2 \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
  • 이때 행렬 $M$을 곱한 것과 동일한 결과를 가져오는 스칼라 -2가 고윳값이 되며 그때의 벡터가 고유벡터가 된다.

고유방정식

$n \times n$ 행렬 $M$에 대하여 $\lambda$가 $M$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식

$det(\lambda I_{n} - M) = 0$

을 만족하는 것이다. 이 방정식을 고유방정식이라 하며, 좌변의 식을 고유다항식이라 한다. (단, $I_{n}$ 는 $n \times n$ 단위 행렬)

• ex) $M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), \lambda = -2$ 일 때,
  • $det(\lambda I_{2} - M) = det(-2 \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))$
  • $= det \left( \begin{array}{rr} -3 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right) = -6 + 6 = 0$
• ex2) $M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)$의 고윳값 찾기
  • $det(\lambda I_{2} - M) = det(\left( \begin{array}{rr} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))$
  • $= det \left( \begin{array}{rr} \lambda - 1 & 2 \\ -3 & \lambda + 4 \end{array} \right)$
  • $= \lambda^{2} + 3 \lambda +2 = (\lambda+2)(\lambda+1) = 0$
  • $\therefore \lambda = -2 or -1$

고유공간

선형사상 $\lambda I_{v} - L$의 핵을 $\lambda$의 고유공간이라 한다. (단, $I_{v}$는 항등사상)

따라서 고유공간의 영벡터가 아닌 벡터는 고유벡터이다.

또한 $L$의 고유벡터들로 구성된 $V$의 기저를 선형사상 $L$의 고유기저라 한다.