Ch2. Proofs

2.1 Mathematical systems, Direct proofs, and counterexamples

Mathematical systems 수학 체계는 axioms, definition, undefined terms 3개로 구성되어있다.

📌 수학 체계의 구성 요소

• Axioms 공리 : 증명 없이 참이라고 가정하는 기본 명제
• Definitions 정의 : 이미 존재하는 개념을 기반으로 새로운 개념을 만들기 위해 사용하는 문장
• Undefined terms 정의되지 않은 용어 : 공리 속에서 자연스럽게 의미가 유도되는 문장

📌 수학 명제 관련 용어

• Theorem 정리 : 증명이 된 명제
• Lemma 보조정리 : 다른 정리를 증명하기 위한 중간 단계로 사용되는 정리
• Corollary 따름정리 : 어떤 정리로부터 쉽게 따라오는 결과
• Proof 증명 : 정리가 참이라는 것을 보여주는 논리적 설명

Euclidean geometry

유클리드 기하학에서의 앞서 말했던 개념들에 대해 설명해보자.

📌 Axioms : 증명 없이 참이라고 가정하는 기본 명제

1. 두 점이 주어지면, 그 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 존재한다.
2. 어떤 직선과 그 위에 있지 않은 점이 주어지면, 그 점을 지나고 원래의 직선과 평행한 직선은 하나만 존재한다

📌 Definitions : 명확한 의미를 부여하는 것

1. 직각삼각형이란, 한 각이 90도인 삼각형이다.
2. 두 삼각형이 합동(congruent)이라는 것은 꼭짓점을 짝지었을 때, 각 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 같을 때를 말한다.

📌 Theorem 정리 : 증명이 된 명제

1. 삼각형의 세 각의 크기 합은 180도이다.

📌 Corollary 따름정리 : 어떤 정리로부터 쉽게 따라오는 결과

1. 정삼각형의 모든 각의 크기는 60도이다.

• 정삼각형은 세 각의 크기가 같기에 세 각의 크기 합이 180도라는 정리로부터 따라오는 정리

📌 Lemma 보조정리 : 복잡한 정리를 증명하기 위한 중간 단계

1. 모든 양의 정수 n에 대해서 n-1은 양수이거나 n-1 = 0이다.