(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

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개념

• $f$: 단사 $\Leftrightarrow ( f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2})$
  • $(x_{1} \neq x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}))$
• $f$ : 전사 $\Leftrightarrow f(X) = Y$
  • 정의역 전체에 대한 상이 공역과 같은 것
• 단서, 전사, 전단사
  • 단사 : 1-1
  • 전사 : onto
  • 전단사 : 1-1 & onto
• $f : X \to Y$: 단사, $A \subseteq X, F \subseteq P(X)$
  • $f(x) \in f(A) \rightarrow x \in A$
  • $f(\cup_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} f(A)$
  • $f(\cap F) = \cap_{A \in F} f(A)$
    • 일반적인 경우와 달리 단사일 경우는 같음이 성립한다.
  • $f^{-1}(\cup F) = \cup_{A \in F} f^{-1}(A)$
  • $f^{-1}(\cap F) = \cap_{A \in F} f^{-1}(A)$
• 전단사 $f : X \to Y$에 대하여, $f^{-1} : Y \to X$는 전단사함수
  • $Dom(F^{-1}) = Im(f) = Y (\because f = \text{전사})$
  • $(a, b) \in f^{-1}, (a, c) \in f^{-1} \Rightarrow (b, a) \in f, (c, a) \in f$
    • $a = f(b) = f(c) \Rightarrow b = c (\because f = \text{단사})$
  • $f^{-1}(a) = f^{-1}(b)$
  • $Im(f^{-1}) = Dom(f) = X (\because f = \text{함수})$
• 단사 함수의 합성은 단사, 전사 함수의 합성은 전사
• 다양한 함수들
  • $Idx : X \to X, Idx(x) = x$ (항등 함수)
  • $C_{a} : X \to \{ a \}, C_{a}(x) = a$ (상수 함수)
  • $X_{a} : X \to \{ a, b \}, X_{a}(x) = \begin{cases} a (x \notin A) \\ b (x \in A) \end{cases}$ (신호 함수 or 상태 함수. 조건에 따라 상태가 다르기 때문에 불연속적이다)
  • $P_{x} : X \times Y \to X, P_{x} (x, y) = x$ ($X$사영 함수 or 2변수 함수. $Y$를 무시하고 $X$축에 그림자를 씌운다는 의미에서 사영 함수라고 한다)
  • $f : A \subseteq B \Leftrightarrow f : A \to B, f(x) = x$ (포함 함수)
• 순서 $n$ 쌍, $N-Tuple$
  • $(a, b)$ 2개인 경우: ordered pair
    • $\{ \{a\}, \{a, b\}\}$
  • $(a, b, c)$ 3개인 경우: 3-Tuple
    • $\{(1, a), (2, b), (3, c)\}$
    • 순서대로 ordered pair를 포함하고 있다.
• 일반화된 카테시안
  • $\mathbb{R}^{3} = \{ (a, b, c) | a, b, c \in \mathbb{R} \}$
  • $\mathbb{R}^{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} | a_{i} \in \mathbb{R} \}$ ($n$차원 유클리드 공간)