https://youtu.be/zddqePfQV9o

복소벡터공간

정의

복소수체 $\mathbb{C}$에 대한 가군. 즉 적당한 집합 $V$에 대해 벡터공간 $(V, \mathbb{C}, +, \cdot)$을 복소벡터공간이라 한다.

($(V, \mathbb{C}, +, \cdot)$에서 $\mathbb{C}$는 스칼라를 복소수에서 가져왔다는 얘기다. 실수벡터공간에서는 스칼라를 어디서 가져왔는지를 생략해서 표기한 셈. 엄밀하게 쓰면 $(V, \mathbb{R}, +, \cdot)$이 되지만 일반적으로 생략해서 표기한다.)

또한 모든 복소 n-튜플 $(v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})$의 집합을 복수 n-공간이라 하고 $\mathbb{C}^{n}$으로 표시한다.

복소켤레

$\mathbb{C}^{n}$의 임의의 벡터

• $v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})$
  • $= (a_{1} + b_{1}i, a_{2} + b_{2}i, ... , a_{n} + b_{n}i)$
  • $= (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) + i(b_{1}, b_{2}, ... , b_{n})$
  • $= Re(v) + i Im(v)$

에 대하여 $v$의 복소켤레 (복소수 부분의 부호만 바뀜)

• $\bar{v} = (\bar{v_{1}}, \bar{v_{2}}, ... , \bar{v_{n}}) = Re(v) - i Im(v)$
• ex 1) $v = (1+i, -i, 3, 3i)$에 대하여 $Re(v), Im(v), \bar{v}$를 구하시오
  • $Re(v) = (1, 0, 3, 0)$
  • $Im(v) = (1, -1, 0, 3)$
  • $\bar{v} = Re(v) - i Im(v) = (1 - i, i, 3, -3i)$
• ex 2) $A = \left( \begin{array}{rr} 1 - i & 2i \\ -1 & 3+2i \end{array} \right)$에 대하여 $\bar{A}, det(\bar{A})$를 구하시오
  • $\bar{A} = \left( \begin{array}{rr} 1 + i & -2i \\ -1 & 3-2i \end{array} \right)$
  • $det(\bar{A}) = 3 - 2i + 3i + 2 - 2i = 5 - i$

대수적 성질

• $\mathbb{C}^{n}$의 벡터 $u, v$와 스칼라 $k$에 대해
  • $\bar{\bar{u}} = u$
  • $\overline{ku} = \bar{k} \bar{u}$
  • $\overline{u \pm v} = \bar{u} \pm \bar{v}$
• $m \times k$ 행렬 $A$와 $k \times n$ 행렬 $B$에 대해
  • $\bar{\bar{A}} = A$
  • $(\overline{A^{T}}) = (\bar{A})^{T}$
  • $\overline{AB} = \bar{A} \bar{B}$

복소내적공간

정의

복소벡터공간 $(V, \mathbb{C}, +, \cdot)$의 두 벡터 $u = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}), v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})$의 내적 $<u, v> : V \times V \to \mathbb{C}$은

$<u, v> = u \cdot v = u_{1} \bar{v_{1}} + u_{2} \bar{v_{2}} + ... + u_{n} \bar{v_{n}}$